谓词逻辑的德摩根定理解释

1. 原始表达： $\neg (\forall xP(x))$ 其中：

• $P(x)$: “x睡着了”
• $\forall$: 全称量词（所有）
• $\neg$: 否定

2. 德摩根转换： $\neg (\forall xP(x))\equiv \exists x\neg P(x)$

3. 最终表达： $\exists x\neg P(x)$ 表示”存在x使得x没睡着”，即”至少有人醒着”

等价性分析：

1. $\neg (\forall xP(x))$ 表示：

• 否定”所有人都睡着了”
• 即”不是所有人都睡着”

2. $\exists x\neg P(x)$ 表示：

• 存在某人没睡着
• 即”至少有人醒着”

3. 这两个表述在逻辑上完全等价：

• 如果不是所有人都睡，必然有人醒着
• 如果有人醒着，就不是所有人都睡

场景示例： 假设有A、B、C三人

1. 原命题否定：

• 不是(A睡着 且 B睡着 且 C睡着)

2. 德摩根转换：

• A醒着 或 B醒着 或 C醒着

3. 存在性表达：

• 存在某人（A、B、C中至少一个）醒着

德摩根定律的一般形式：

1. 量词转换： $\neg (\forall xP(x))\equiv \exists x\neg P(x)$ $\neg (\exists xP(x))\equiv \forall x\neg P(x)$

2. 集合表示： $\neg ({\bigwedge }_i{P}_i)\equiv {\bigvee }_i\neg P_i$ $\neg ({\bigvee }_i{P}_i)\equiv {\bigwedge }_i\neg P_i$

3. 应用原则：

• 否定分配到量词
• 全称变存在，存在变全称
• 原谓词取反