解析

三角函数有三种主要定义方式：

1. 直角三角形定义：在直角三角形中，锐角的三角函数值由对边、邻边和斜边的比值确定。
2. 单位圆定义：在单位圆中，角θ对应圆上一点P(cosθ, sinθ)，其坐标值即为三角函数值。
3. 角度定义：将角度值转换为弧度，然后通过周期性函数定义。

这三种定义的联系：单位圆定义是最一般的定义，可以扩展到任意角；直角三角形定义仅适用于锐角；单位圆定义与直角三角形定义在第一象限是等价的。

思路提示

识别三角函数定义方式 → 分析各定义的适用范围 → 比较定义间的关系 → 总结定义的联系与区别

解析

三角函数的奇偶性：

• 正弦函数：sin(-x) = -sin(x)，为奇函数
• 余弦函数：cos(-x) = cos(x)，为偶函数
• 正切函数：tan(-x) = -tan(x)，为奇函数
• 余切函数：cot(-x) = -cot(x)，为奇函数
• 正割函数：sec(-x) = sec(x)，为偶函数
• 余割函数：csc(-x) = -csc(x)，为奇函数

证明：从单位圆定义出发，当角度从θ变为-θ时，x坐标不变，y坐标取反，即P(cosθ, sinθ)变为P(cos(-θ), sin(-θ)) = P(cosθ, -sinθ)，因此cos(-θ) = cosθ，sin(-θ) = -sinθ。其他函数可由此推导。

思路提示

回顾奇偶函数定义 → 分析各三角函数在负角情况下的值 → 与原函数值比较 → 确定奇偶性 → 通过单位圆模型证明

解析

弧度与角度的转换关系：

• 1弧度 = (180/π)° ≈ 57.3°
• 1° = (π/180)弧度 ≈ 0.01745弧度

转换公式：

• 角度 = 弧度 × (180/π)
• 弧度 = 角度 × (π/180)

高等数学中更倾向于使用弧度制的原因：

1. 弧度是一个纯数值，不需要单位
2. 在微积分中，当x接近0时，sin(x)/x的极限为1，这一性质仅在x以弧度表示时成立
3. 三角函数的导数表达式更为简洁（如(sin x)’ = cos x）
4. 弧度与弧长、面积有直接的几何关系

思路提示

理解弧度定义 → 建立弧度与角度的转换关系 → 分析弧度在微积分中的优势 → 总结弧度制的数学意义

解析

三角函数的基本关系式：

1. 平方关系：sin²θ + cos²θ = 1
2. 商数关系：tanθ = sinθ/cosθ, cotθ = cosθ/sinθ
3. 倒数关系：secθ = 1/cosθ, cscθ = 1/sinθ
4. 互余关系：sin(π/2-θ) = cosθ, cos(π/2-θ) = sinθ
5. tan与cot关系：tanθ·cotθ = 1
6. sec与cos关系：sec²θ = 1 + tan²θ
7. csc与sin关系：csc²θ = 1 + cot²θ

这些关系式可以从单位圆定义推导：在单位圆上，点P(cosθ, sinθ)到原点的距离为1，由勾股定理得sin²θ + cos²θ = 1，其他关系可由定义和这一基本关系推导。 [!tip] 思路提示

理解单位圆定义 → 从几何意义推导平方关系 → 基于定义建立商数关系 → 推导其他派生关系 → 记忆并理解各关系式的联系

解析

两角和与差的公式：

和角公式：

• sin(α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
• cos(α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ

差角公式：

• sin(α-β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ
• cos(α-β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ

推导： 可以通过复数的乘法或向量旋转来推导。 设P₁(cosα, sinα)和P₂(cosβ, sinβ)是单位圆上对应角α和β的点。 利用复数表示：e^(iα) = cosα + i·sinα，e^(iβ) = cosβ + i·sinβ 则e^(i(α+β)) = e^(iα)·e^(iβ) = (cosα + i·sinα)(cosβ + i·sinβ) 展开得：cos(α+β) + i·sin(α+β) = (cosα·cosβ - sinα·sinβ) + i(sinα·cosβ + cosα·sinβ)

几何意义： 和角公式表示将两个旋转角度叠加后的坐标位置；差角公式表示两个旋转角度相减后的坐标位置。

思路提示

利用复数表示旋转 → 应用复数乘法法则 → 分离实部和虚部 → 得到和角公式 → 通过替换β为-β得到差角公式 → 理解几何意义

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求sin75°的值：

注意到75° = 45° + 30°，可以使用和角公式： sin(α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ

代入α = 45°，β = 30°： sin75° = sin45°·cos30° + cos45°·sin30°

已知：

• sin30° = 1/2
• cos30° = √3/2
• sin45° = cos45° = √2/2

代入计算： sin75° = (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4

因此，sin75° = (√6 + √2)/4 [!tip] 思路提示

分解75°为特殊角之和 → 确定使用和角公式 → 代入已知特殊角的三角函数值 → 代数化简 → 得到最终结果

解析

在△ABC中，角A = 30°，角B = 45°，边AB = 10

首先，根据三角形内角和为180°，可以求出角C： 角C = 180° - 角A - 角B = 180° - 30° - 45° = 105°

使用正弦定理： BC/sinA = AB/sinC

代入已知值： BC/sin30° = 10/sin105°

计算： sin30° = 1/2 sin105° = sin(180°-105°) = sin75° = (√6 + √2)/4

所以： BC = 10 × sin30°/sin105° = 10 × (1/2)/((√6 + √2)/4) = 10 × 2/((√6 + √2)) = 20/(√6 + √2)

通分： BC = 20/(√6 + √2) × (√6 - √2)/(√6 - √2) = 20(√6 - √2)/((√6)² - (√2)²) = 20(√6 - √2)/(6 - 2) = 5(√6 - √2)

因此，边BC的长度为5(√6 - √2) [!tip] 思路提示

确定三角形的三个内角 → 选择合适的三角形解法(正弦定理) → 列出方程 → 代入已知三角函数值 → 代数化简 → 得到最终结果

解析

证明：sin3θ = 3sinθ - 4sin³θ

步骤1：将3θ分解为θ+2θ，使用和角公式 sin3θ = sin(θ+2θ) = sinθ·cos2θ + cosθ·sin2θ

步骤2：使用倍角公式 cos2θ = cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ (因为cos²θ = 1 - sin²θ) sin2θ = 2sinθ·cosθ

步骤3：代入和角公式 sin3θ = sinθ·(1 - 2sin²θ) + cosθ·(2sinθ·cosθ) = sinθ - 2sin³θ + 2sinθ·cos²θ

步骤4：使用恒等式cos²θ = 1 - sin²θ继续化简 sin3θ = sinθ - 2sin³θ + 2sinθ·(1 - sin²θ) = sinθ - 2sin³θ + 2sinθ - 2sinθ·sin²θ = 3sinθ - 2sin³θ - 2sin³θ = 3sinθ - 4sin³θ

因此，sin3θ = 3sinθ - 4sin³θ 得证。 [!tip] 思路提示

分解3θ为θ+2θ → 应用和角公式 → 使用倍角公式替换sin2θ和cos2θ → 利用基本恒等式进行代数化简 → 得到最终结果

解析

求解三角方程：2sin²x + sinx - 1 = 0，x ∈ [0, 2π)

步骤1：令t = sinx，将三角方程转化为关于t的二次方程 2t² + t - 1 = 0

步骤2：使用求根公式解二次方程 t = (-1 ± √(1 + 8))/4 = (-1 ± 3)/4 t₁ = 1/2，t₂ = -1

步骤3：回代t = sinx，求x的值 当sinx = 1/2时，x = π/6 或 x = 5π/6 当sinx = -1时，x = 3π/2

步骤4：验证解在给定区间[0, 2π)内 π/6 ≈ 0.52，在区间内 5π/6 ≈ 2.62，在区间内 3π/2 = 4.71，在区间内

因此，原方程在[0, 2π)内的解为x = π/6, 5π/6, 3π/2 [!tip] 思路提示

代换sinx为t → 转化为代数二次方程 → 求解二次方程 → 回代求解原三角方程 → 验证解是否在给定区间内

解析

正弦函数和余弦函数的比较：

1. 定义域：

• 正弦函数：R（所有实数）

• 余弦函数：R（所有实数）

2. 值域：

• 正弦函数：[-1, 1]

• 余弦函数：[-1, 1]

3. 周期性：

• 正弦函数：周期为2π

• 余弦函数：周期为2π

4. 奇偶性：

• 正弦函数：奇函数，sin(-x) = -sin(x)

• 余弦函数：偶函数，cos(-x) = cos(x)

5. 图像特征：

• 正弦函数：过原点，在x = π/2 + 2nπ处取最大值1，在x = 3π/2 + 2nπ处取最小值-1

• 余弦函数：在y轴上值为1，在x = 0 + 2nπ处取最大值1，在x = π + 2nπ处取最小值-1

6. 相位关系：

• cos(x) = sin(x + π/2)，余弦函数比正弦函数提前π/2相位

• sin(x) = cos(x - π/2)，正弦函数比余弦函数滞后π/2相位

7. 几何意义：

• 正弦函数：单位圆上点的纵坐标
• 余弦函数：单位圆上点的横坐标 [!tip] 思路提示

理解单位圆定义 → 分析函数基本性质 → 比较两个函数的异同 → 总结函数间的关系 → 理解几何意义

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三角函数与指数函数、对数函数的联系：

1. 欧拉公式：

• e^(ix) = cos(x) + i·sin(x)

• 这表明指数函数与三角函数在复数域上有紧密联系

2. 函数表达：

• cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix))/2

• sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)

• 三角函数可以用指数函数表示

3. 周期性：

• 三角函数是周期函数，周期为2π

• 复指数函数e^(ix)在虚轴方向是周期函数，周期为2π

• 实指数函数e^x没有周期性

4. 导数关系：

• (sin x)’ = cos x

• (cos x)’ = -sin x

• (e^x)’ = e

• 这些导数关系在复数域上通过欧拉公式统一起来

5. 幂级数展开：

• sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - …

• cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - …

• e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …

• 三角函数和指数函数都可以表示为幂级数

6. 对数关系：

• ln(e^(ix)) = ix
• 因此ln(cos(x) + i·sin(x)) = ix
• 这建立了对数函数与三角函数的联系 [!tip] 思路提示

理解欧拉公式 → 分析三角函数的复数表示 → 比较函数的周期性和导数关系 → 探索幂级数展开的联系 → 建立对数关系

解析

三角函数在物理学中的重要应用：

1. 简谐运动：

• 弹簧振动：x(t) = A·cos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是初相位

• 单摆运动：θ(t) = θ₀·cos(ωt + φ)，其中θ是摆角，ω = √(g/L)

2. 波动现象：

• 机械波：y(x,t) = A·sin(kx - ωt)，其中k是波数，ω是角频率

• 电磁波：E(x,t) = E₀·sin(kx - ωt)，表示电场强度随时间和位置的变化

3. 交流电：

• 交流电压：V(t) = V₀·sin(ωt)

• 交流电流：I(t) = I₀·sin(ωt + φ)，其中φ表示电压与电流之间的相位差

4. 旋转运动：

• 角位置：θ(t) = ω·t + θ₀

• 向心加速度：a = ω²·r，其中ω是角速度，r是半径

5. 光学：

• 光的干涉：I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂)·cos(φ₁ - φ₂)

• 衍射图样：I(θ) = I₀·[sin(Nπd·sinθ/λ)/sin(πd·sinθ/λ)]²

6. 量子力学：

• 波函数：Ψ(x,t) = A·sin(kx - ωt)
• 薛定谔方程的周期解常包含三角函数 [!tip] 思路提示

识别周期性物理现象 → 分析数学模型中的三角函数 → 理解三角函数参数的物理意义 → 总结三角函数在不同物理领域的应用 → 建立数学与物理的联系