函数性质

【定义】

1. 单调递增：

   1. 若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$
   2. 或$\forall x_1,x_2\in D$，$x_1<x_2$ → $f(x_1)<f(x_2)$

2. 单调递减：

   1. 若$x_1<x_2$，则$f(x_1)>f(x_2)$
   2. 或$\forall x_1,x_2\in D$，$x_1<x_2$ → $f(x_1)>f(x_2)$

【判断方法】

1. 定义法：

   1. 任取两点比较
   2. 验证定义条件

2. 导数法：

   1. $f^{\prime }(x)>0$ → 递增
   2. $f^{\prime }(x)<0$ → 递减

3. 图像法：

   1. 左低右高 → 递增
   2. 左高右低 → 递减

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域范围
• 严格/非严格单调（包含等号）
• 分段函数的处理

【定义】

1. 奇函数：

   1. $f(-x)=-f(x)$
   2. 关于原点对称

2. 偶函数：

   1. $f(-x)=f(x)$
   2. 关于y轴对称

【判断步骤】

1. 代数法：

   1. 代入$-x$验证
   2. 检查定义式

2. 图像法：

   1. 奇函数：旋转180°重合
   2. 偶函数：左右对称

3. 特殊情况：

   1. 既不是奇函数也不是偶函数
   2. 零函数既是奇函数也是偶函数

【常见例子】

• 奇函数：$x^3$，$\sin x$
• 偶函数：$x^2$，$\cos x$

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域对称性
• 复合函数判断
• 分段函数处理

【定义】 若存在正数$T$，使得对于定义域内任意$x$，都有： $f(x+T)=f(x)$ 则称$f(x)$为周期函数，$T$为函数的周期。

【基本性质】

1. 最小正周期：

   1. 所有周期中最小的正数
   2. 其他周期都是它的整数倍

2. 周期函数特点：

   1. 图像呈现重复性
   2. 定义域通常是$R$
   3. 值域在一个周期内遍历完成

【常见周期函数】

• $\sin x$：周期$2\pi$
• $\cos x$：周期$2\pi$
• $\tan x$：周期$\pi$

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 周期的正数性
• 最小正周期的唯一性
• 定义域的完整性

【求周期方法】

1. 基本函数变形： $f(ax+b)$的周期为$\frac{T}{|a|}$ 其中$T$为$f(x)$的周期

2. 复合函数： 若$T_1,T_2$为两函数周期 则复合函数周期为$lcm(T_1,T_2)$ （最小公倍数）

3. 四则运算： 和差积商的周期为各周期的 最小公倍数（若存在）

【例题分析】

1. $f(x)=\sin (2x)$

   1. 基本周期：$2\pi$
   2. $a=2$
   3. 实际周期：$\pi$

2. $g(x)=\sin x+\cos x$

   1. 都是$2\pi$周期
   2. 结果也是$2\pi$周期

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 系数影响
• 复合顺序
• 是否存在周期

【应用领域】

1. 自然现象：

   1. 昼夜交替：24小时
   2. 四季变化：12个月
   3. 潮汐变化：12.4小时

2. 物理过程：

   1. 简谐运动：$x=A\sin (\omega t)$
   2. 交流电：$i=I_m\sin (\omega t)$
   3. 声波传播：$y=A\sin (2\pi ft)$

3. 生物节律：

   1. 心跳周期
   2. 睡眠周期
   3. 生理周期

【建模方法】

1. 确定周期：

   1. 观察规律
   2. 数据分析
   3. 实验验证

2. 选择函数：

   1. 正弦函数
   2. 余弦函数
   3. 复合函数

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 周期稳定性
• 外部干扰
• 模型局限性

【定义】

1. 有上界： $\exists M$，使得$\forall x\in D$，都有$f(x)\le M$ $M$称为上界

2. 有下界： $\exists m$，使得$\forall x\in D$，都有$f(x)\ge m$ $m$称为下界

3. 有界： 同时有上界和下界 即$\exists M,m$，使$m\le f(x)\le M$

【判断方法】

1. 定义法：

   1. 寻找最大最小值
   2. 确定值域范围

2. 导数法：

   1. 求驻点
   2. 端点处取值

3. 图像法：

   1. 是否被水平线束缚
   2. 是否无限增大/减小

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域影响
• 无界不等于无限
• 局部有界≠整体有界

【典型函数】

1. 三角函数：

   1. $\sin x$：$[-1,1]$有界
   2. $\cos x$：$[-1,1]$有界
   3. $\tan x$：无界

2. 指数函数：

   1. $e^x$：有下界无上界
   2. $-e^x$：有上界无下界
   3. $|e^x|$：有下界无上界

3. 有理函数：

   1. $\frac{1}{x}$：无界
   2. $\frac{x}{1+x^2}$：有界
   3. $\frac{1}{1+x^2}$：$(0,1]$有界

【判断技巧】

1. 极限分析：

   1. $x\to \pm \infty$时的趋势
   2. 分母趋近零时

2. 图像特征：

   1. 渐近线
   2. 周期性
   3. 对称性

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域断点
• 无穷远处行为
• 分段函数连接处

【应用场景】

1. 物理约束：

   1. 速度限制
   2. 温度范围
   3. 压力界限

2. 经济约束：

   1. 预算限制
   2. 产能上限
   3. 市场容量

3. 工程应用：

   1. 材料强度
   2. 设备性能
   3. 安全系数

【分析方法】

1. 确定边界：

   1. 物理极限
   2. 实际约束
   3. 安全范围

2. 建立模型：

   1. 函数表达式
   2. 约束条件
   3. 边界处理

3. 优化决策：

   1. 最优解
   2. 可行域
   3. 风险控制

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 实际可行性
• 边界条件
• 安全裕度

【分析步骤】

1. 性质识别：

   1. 单调性特征
   2. 对称性质
   3. 周期特点
   4. 有界情况

2. 性质关联：

   1. 奇函数必过原点
   2. 偶函数值域对称
   3. 周期函数一定有界
   4. 单调函数一一对应

3. 解题策略：

   1. 性质判断
   2. 图像辅助
   3. 代数验证
   4. 综合推理

【常见题型】

1. 性质判断题
2. 函数构造题
3. 值域确定题
4. 方程解题

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 性质互补性
• 条件充分性
• 反例验证

【解题过程】

1. 应用定义： $f(-x)=-f(x)$

2. 代入计算：

   1. $f(-x)=a\sin (-x)+b\cos (-x)$
   2. $=-a\sin x+b\cos x$

3. 方程求解：

   1. $-a\sin x+b\cos x=-a\sin x-b\cos x$
   2. 系数对比：$b=0$

4. 结果验证：

   1. $f(x)=a\sin x$
   2. $a$可为任意非零实数

【解题技巧】

• 利用三角函数奇偶性
• 系数对比法
• 验证完整性

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 三角函数性质
• 参数取值
• 零函数情况

【解题思路】

1. 性质分析：

   1. 奇函数：$f(-x)=-f(x)$
   2. 周期为2
   3. 连续函数

2. 关键点值：

   1. $f(1)=1$
   2. $f(-1)=-1$（奇函数）
   3. $f(3)=f(1)=1$（周期性）

3. 区间分析：

   1. $[-1,1]$上连续
   2. 奇函数对称性
   3. 周期延拓

4. 结论推导：

   1. 最大值为1
   2. 最小值为-1

【解题要点】

• 性质综合运用
• 区间分析
• 连续性应用

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 周期延拓
• 连续性影响
• 奇函数性质

【解题过程】

1. 证明是偶函数：

   1. 代入$-x$：$f(-x)=\frac{(-x{)}^2-1}{(-x{)}^2+1}$
   2. 化简：$f(-x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}=f(x)$
   3. 满足偶函数定义

2. 证明$|f(x)|<1$：

   1. $|f(x)|=|\frac{x^2-1}{x^2+1}|$
   2. 分子小于分母：$|x^2-1|<|x^2+1|$
   3. 因此$|f(x)|<1$

【解题技巧】

• 代数变形
• 不等式证明
• 分类讨论

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域问题
• 绝对值处理
• 证明完整性

【解题步骤】

1. 求导数：

   1. $f^{\prime }(x)=\cos x-a\sin x$
   2. $f^{\prime }(x)=\sqrt{1+a^2}\cos (x+\arctan a)$

2. 单调递增条件：

   1. $f^{\prime }(x)>0$，$x\in [0,\pi ]$
   2. $\cos (x+\arctan a)>0$

3. 区间分析：

   1. $x+\arctan a\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$
   2. $\arctan a>-\frac{\pi }{2}$
   3. $\arctan a<\frac{\pi }{2}-\pi$

4. 求解结果：

   1. $a<-1$

【解题要点】

• 三角函数变形
• 区间分析
• 不等式求解

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 导数符号
• 区间边界
• 三角变换

【分析解答】

1. 零点条件：

   1. 设两零点为$x_1<x_2$
   2. $f(x_1)=f(x_2)=0$

2. 单调性分析：

   1. $f^{\prime }(x)=e^x+a$
   2. 在$(x_1,x_2)$上$f^{\prime }(x)<0$
   3. 即$e^x+a<0$

3. 条件转化：

   1. $e^{x_2}+a{x}_2+b=0$
   2. $e^{x_1}+a{x}_1+b=0$
   3. $e^x+a<0$，$x\in (x_1,x_2)$

4. 结论推导：

   1. $a<-e^{x_2}$
   2. $a<-1$

【解题技巧】

• 零点性质
• 导数判断
• 指数函数性质

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 条件充分性
• 零点存在性
• 单调区间

【解题步骤】

1. 连续条件：

   1. ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$
   2. $b=d$ (代入$x=0$)

2. 可导条件：

   1. ${\lim }_{x\to 0^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{f}^{\prime }(x)$
   2. $a=c$ (求导后代入)

3. 代数求解：

   1. $ax+b=x^2+ax+b$，$x=0$
   2. $a=0$，$b=0$
   3. $c=0$，$d=0$

4. 验证结果：

   1. 函数连续且可导
   2. 各参数满足条件

【解题技巧】

• 分段函数处理
• 导数连续性
• 参数确定

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 连续点条件
• 可导点条件
• 验证完整性

【解题过程】

1. 求周期：

   1. $\sin x$周期为$2\pi$
   2. $\cos 2x$周期为$\pi$
   3. 最小公倍数为$2\pi$

2. 求最值：

   1. $f^{\prime }(x)=\cos x-2\sin 2x$
   2. $f^{\prime }(x)=\cos x-4\sin x\cos x$
   3. $f^{\prime }(x)=\cos x(1-4\sin x)$
   4. 驻点：$x=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$或$\sin x=\frac{1}{4}$

3. 比较大小：

   1. 代入驻点
   2. 比较函数值
   3. 确定最值

【解题要点】

• 三角函数周期
• 导数零点
• 端点处理

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 周期计算
• 驻点遗漏
• 区间边界

【分析解答】

1. 偶函数条件：

   1. $f(-x)=f(x)$
   2. $a{x}^2-bx+c=a{x}^2+bx+c$
   3. 得$b=0$

2. 函数值条件：

   1. $f(1)=0$
   2. $\ln (a+c)=0$
   3. $a+c=1$

3. 定义域条件：

   1. $a{x}^2+c>0$
   2. $a>0$（二次项系数）
   3. $c>0$（常数项）

4. 解得结果：

   1. $b=0$
   2. $a=\frac{1}{2}$
   3. $c=\frac{1}{2}$

【解题技巧】

• 对数函数性质
• 偶函数特征
• 定义域分析

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 对数定义域
• 参数符号
• 解的唯一性

【解题步骤】

1. 已知条件整理：

   1. $x=1$处连续：$a+b=1+c+d$
   2. $x=1$处可导：$a=2+c$
   3. $f(0)=2$：$b=2$
   4. $f(2)=6$：$4+2c+d=6$

2. 方程组求解：

   1. 由$b=2$得：$a\times 0+2=2$
   2. 由连续性：$a+2=1+c+d$
   3. 由可导性：$a=2+c$
   4. 由$f(2)=6$：$4+2c+d=6$

3. 解得结果：

   1. $a=4$
   2. $b=2$
   3. $c=2$
   4. $d=-3$

【考点分析】

• 分段函数连续性
• 导数连续性
• 方程组求解

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 连续点条件
• 可导点条件
• 方程组完整性

【解题过程】

1. 证明偶函数：

   1. $f(-x)=\frac{(-x{)}^2}{(-x{)}^2+a}$
   2. $=\frac{x^2}{x^2+a}=f(x)$
   3. 满足偶函数定义

2. 求值域：

   1. $y=\frac{x^2}{x^2+a}$
   2. $y(x^2+a)=x^2$
   3. $y{x}^2+ya=x^2$
   4. $x^2(y-1)=-ya$
   5. $x^2=\frac{ya}{1-y}$
   6. 由$x^2\ge 0$且$a>0$
   7. 得$0\le y<1$

【考点分析】

• 偶函数定义
• 分式函数值域
• 参数限制

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域问题
• 分式变形
• 不等式求解

【解题步骤】

1. 求周期：

   1. $\sin x$周期为$2\pi$
   2. $\cos 2x$周期为$\pi$
   3. 最小公倍数为$2\pi$

2. 求单调性：

   1. $f^{\prime }(x)=\cos x-2k\sin 2x$
   2. $=\cos x-4k\sin x\cos x$
   3. $=\cos x(1-4k\sin x)$
   4. 在$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$上
   5. $\cos x\ge 0$
   6. $1-4k\sin x>0$
   7. 得$k<\frac{1}{4}$

【考点分析】

• 三角函数周期
• 导数判断单调性
• 区间分析

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 周期计算
• 导数符号
• 区间限制

【解题过程】

1. 证明奇函数：

   1. $f(-x)=\ln (-x+\sqrt{(-x{)}^2+1})$
   2. $=\ln (-x+\sqrt{x^2+1})$
   3. $=\ln (\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}})$
   4. $=-\ln (x+\sqrt{x^2+1})$
   5. $=-f(x)$

2. 求单调区间：

   1. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})$
   2. $=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$
   3. 在$R$上单调递增

【考点分析】

• 奇函数定义
• 复合函数求导
• 导数符号判断

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 对数运算法则
• 复合函数求导
• 单调性证明

【解题步骤】

1. 求导分析：

   1. $f^{\prime }(x)=e^x+a$
   2. 驻点：$x=-\ln |a|$（当$a<0$时）

2. 最值条件：

   1. 比较$f(0),f(1)$和驻点值
   2. $f(0)=1+b$
   3. $f(1)=e+a+b$

3. 方程组求解：

   1. $\min \{1+b,e+a+b\}=0$
   2. $\max \{1+b,e+a+b\}=1$
   3. 解得：$a=1-e$，$b=0$

【考点分析】

• 导数与最值
• 参数方程组
• 区间最值

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 驻点存在性
• 端点取值
• 参数关系

【解题过程】

1. 连续条件：

   1. ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$
   2. $0=a+b$

2. 可导条件：

   1. ${\lim }_{x\to 1^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}{f}^{\prime }(x)$
   2. $-1=a$

3. 解得结果：

   1. $a=-1$
   2. $b=1$

4. 验证：

   1. 函数连续且可导
   2. 图像光滑

【考点分析】

• 分段函数连续性
• 导数连续性
• 几何意义理解

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 左右极限
• 导数存在性
• 几何直观

【解题步骤】

1. 连续条件：

   1. ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$
   2. $\ln 2=b$

2. 可导条件：

   1. ${\lim }_{x\to 0^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{f}^{\prime }(x)$
   2. $\frac{1}{2}=a$

3. 函数值条件：

   1. $f(1)=1$
   2. $\frac{1}{2}+b=1$
   3. $b=\frac{1}{2}$

【考点分析】

• 分段函数连续性
• 对数函数求导
• 参数确定

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 对数函数求导
• 参数关系
• 验证完整性

【解题过程】

1. 求导函数：

   1. $f^{\prime }(x)=\cos x+2k\cos 2x$
   2. $=\cos x+2k(2{\cos }^{2}x-1)$
   3. $=4k{\cos }^{2}x+\cos x-2k$

2. 单调性条件：

   1. $f^{\prime }(x)>0$，$x\in [0,\frac{\pi }{2}]$
   2. $4k{\cos }^{2}x+\cos x-2k>0$

3. 参数范围：

   1. 当$x=\frac{\pi }{2}$时：$-2k>0$
   2. 当$x=0$时：$4k+1-2k>0$
   3. 解得：$k<0$且$k>-\frac{1}{2}$

【考点分析】

• 三角函数求导
• 不等式求解
• 区间分析

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 三角恒等变换
• 区间端点
• 参数范围

【解题步骤】

1. 求参数$a$：

   1. 奇函数：$f(-x)=-f(x)$
   2. $\frac{x^2-a}{x^2+1}=-\frac{x^2-a}{x^2+1}$
   3. 解得：$a=0$

2. 求值域：

   1. $y=\frac{x^2}{x^2+1}$
   2. 令$t=x^2$，$t\ge 0$
   3. $y=\frac{t}{t+1}$
   4. $t=\frac{y}{1-y}$
   5. 得：$y\in (-1,1)$

【考点分析】

• 奇函数性质
• 分式函数
• 值域求解

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 奇函数定义
• 分式变形
• 定义域限制

【解题步骤】

1. 连续条件：

   1. ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$
   2. $e^0-1=0$
   3. $0=0$ (自动满足)

2. 可导条件：

   1. ${\lim }_{x\to 0^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{f}^{\prime }(x)$
   2. $e^0=2ax\cdot 0+b$
   3. $1=b$

3. 导数值条件：

   1. $f^{\prime }(0)=2$
   2. $b=2$
   3. 解得：$b=1$，$a=\frac{1}{2}$

【考点分析】

• 分段函数连续性
• 指数函数求导
• 参数确定

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 连续点条件
• 导数存在性
• 参数关系

【解题过程】

1. 证明连续性：

   1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
   2. ${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)=1$
   3. 因此连续

2. 求最大值：

   1. $f^{\prime }(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$
   2. 令$f^{\prime }(x)=0$
   3. $\tan x=x$
   4. 在$[-\pi ,\pi ]$上比较：
      1. 驻点处的值
      2. 端点处的值
      3. $x=0$处的值

【考点分析】

• 函数连续性
• 导数零点
• 最值比较

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 洛必达法则
• 导数计算
• 端点情况

【解题步骤】

1. 证明奇函数：

   1. $f(-x)=\ln (-x+\sqrt{(-x{)}^2+1})$
   2. $=\ln (-x+\sqrt{x^2+1})$
   3. $=\ln (\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}})$
   4. $=-\ln (x+\sqrt{x^2+1})$
   5. $=-f(x)$

2. 求单调区间：

   1. $f^{\prime }(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$
   2. $=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$
   3. 在$R$上单调递增

【考点分析】

• 奇函数性质
• 复合函数求导
• 单调性判断

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 对数运算
• 复合求导
• 分母不为零

【解题步骤】

1. 连续条件：

   1. ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$
   2. $0=k+b$

2. 可导条件：

   1. ${\lim }_{x\to 1^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}{f}^{\prime }(x)$
   2. $-1=k$

3. 解得结果：

   1. $k=-1$
   2. $b=1$

【考点分析】

• 分段函数连续性
• 导数连续性
• 参数确定

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 连续点条件
• 导数存在性
• 几何意义

【解题过程】

1. 函数分析：

   1. $f(0)=1+a>0$
   2. $f(\pi )=-1+a>0$
   3. $f(\frac{\pi }{2})=0+a>0$

2. 求导分析：

   1. $f^{\prime }(x)=\cos x-2a\sin 2x$
   2. $=\cos x-4a\sin x\cos x$
   3. $=\cos x(1-4a\sin x)$

3. 参数范围：

   1. 由$f(\pi )>0$得：$a>1$
   2. 由$f(0)>0$得：$a>-1$
   3. 综合得：$a>1$

【考点分析】

• 三角函数性质
• 导数与极值
• 参数范围

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 区间端点
• 三角变换
• 不等式求解

【解题步骤】

1. 偶函数条件：

   1. $f(-x)=f(x)$
   2. $\frac{x^2-ax+b}{x^2+1}=\frac{x^2+ax+b}{x^2+1}$

2. 系数比较：

   1. 分子系数相等
   2. $-a=a$
   3. $a=0$

3. 结果验证：

   1. $f(x)=\frac{x^2+b}{x^2+1}$
   2. 确实为偶函数

【考点分析】

• 偶函数定义
• 分式函数
• 参数确定

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 分式变形
• 系数比较
• 验证完整性

【解题步骤】

1. 连续条件：

   1. ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$
   2. $1+a+b=\ln 2$

2. 可导条件：

   1. ${\lim }_{x\to 1^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}{f}^{\prime }(x)$
   2. $2+a=\frac{1}{2}$

3. 解得结果：

   1. $a=-\frac{3}{2}$
   2. $b=\ln 2-\frac{1}{2}$

【考点分析】

• 分段函数连续性
• 对数函数求导
• 参数确定

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 连续点条件
• 导数存在性
• 对数运算

【解题过程】

1. 周期分析：

   1. $\sin x$周期为$2\pi$
   2. $\sin 2x$周期为$\pi$
   3. 最小公倍数为$2\pi$

2. 函数性质：

   1. $f(x+2\pi )=f(x)$
   2. $f(x+\pi )\ne f(x)$

3. 参数条件：

   1. $k\ne 0$（否则周期为$2\pi$）
   2. $k$可为任意非零实数

【考点分析】

• 三角函数周期
• 复合函数周期
• 参数影响

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 周期计算
• 参数限制
• 验证完整性

【解题步骤】

1. 证明偶函数：

   1. $f(-x)=\frac{(-x{)}^2-1}{(-x{)}^2+1}$
   2. $=\frac{x^2-1}{x^2+1}$
   3. $=f(x)$

2. 求值域：

   1. 令$t=x^2$，$t\ge 0$
   2. $y=\frac{t-1}{t+1}$
   3. $t=\frac{1+y}{1-y}$
   4. 得：$y\in (-1,1)$

【考点分析】

• 偶函数性质
• 分式函数
• 值域求解

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 偶函数定义
• 分式变形
• 定义域限制