点积

【定义】

1. 代数定义：

   1. $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$
   2. 其中$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$

2. 几何定义：

   1. $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$
   2. θ是两向量的夹角

【几何意义】

• 一个向量在另一个向量方向上的投影长度与另一向量的长度的乘积
• 表示向量$\vec{b}$对向量$\vec{a}$方向的”贡献度”

【性质】

1. 交换律：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$
2. 结合律：$(k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$
3. 分配律：$\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$

【向量关系判定】

1. 垂直关系：

   1. $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ ⟺ 两向量垂直
   2. 即$\cos \theta =0$ ⟺ $\theta =90°$

2. 同向关系：

   1. $\vec{a}\cdot \vec{b}>0$ ⟺ 夹角为锐角
   2. $\cos \theta >0$ ⟺ $\theta <90°$

3. 反向关系：

   1. $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$ ⟺ 夹角为钝角
   2. $\cos \theta <0$ ⟺ $90°<\theta <180°$

【应用技巧】

• 判断垂直：检验点积是否为0
• 判断方向：观察点积正负号

【物理应用】

1. 功的计算：

   1. $W=\vec{F}\cdot \vec{s}=|\vec{F}||\vec{s}|\cos \theta$
   2. 力在位移方向上的分量与位移的乘积

2. 功率计算：

   1. $P=\vec{F}\cdot \vec{v}$
   2. 力与速度的点积

3. 电功率：

   1. $P=\vec{E}\cdot \vec{I}$
   2. 电场强度与电流的点积

【应用要点】

• 注意力的方向
• 考虑夹角影响
• 单位保持一致

【解题步骤】

1. 点积计算：

   1. $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\times 1+4\times 2=11$

2. 夹角计算：

   1. $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
   2. $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$
   3. $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
   4. $\cos \theta =\frac{11}{5\sqrt{5}}$
   5. $\theta =\arccos (\frac{11}{5\sqrt{5}})\approx 27.8°$

3. 投影长度：

   1. $pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{11}{\sqrt{5}}\approx 4.92$

【计算技巧】

• 先求点积和模长
• 利用反三角函数求角度
• 注意投影公式

【解题步骤】

1. 建立向量：

   1. 重力向量：$\vec{G}=(0,-200)$
   2. 斜面方向向量：$\vec{s}=(\sqrt{3}/2,-1/2)$
   3. 斜面法向量：$\vec{n}=(1/2,\sqrt{3}/2)$

2. 沿斜面分力：

   1. $F_{\parallel }=|\vec{G}|\cos (60°)=200\times \frac{1}{2}=100$ (N)
   2. 或用点积：$F_{\parallel }=\vec{G}\cdot \vec{s}=100$ (N)

3. 垂直分力：

   1. $F_{\perp }=|\vec{G}|\cos (30°)=200\times \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 173.2$ (N)
   2. 或用点积：$F_{\perp }=\vec{G}\cdot \vec{n}\approx 173.2$ (N)

【应用技巧】

• 选择合适的单位向量
• 利用点积计算分力
• 验证结果合理性

【解题步骤】

1. 判断直角：

   1. $\overrightarrow{AB}=(3,4)$
   2. $\overrightarrow{BC}=(3,-4)$
   3. $\overrightarrow{AC}=(6,0)$

   计算点积：

   1. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\times 3+4\times (-4)=0$
   2. 因为点积为0，所以∠B=90°

2. 面积计算：

   1. 方法一：$S=\frac{1}{2}\times 底\times 高$

   2. $S=\frac{1}{2}\times 6\times 4=12$ (平方单位)

   3. 方法二：$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|$

   4. $S=\frac{1}{2}\times 5\times 5=12.5$ (平方单位)

【几何应用】

• 点积判断垂直
• 向量求三角形面积
• 验证几何性质

【应用场景】

1. 点的位置判断：

   1. 设直线向量$\vec{v}$，法向量$\vec{n}$
   2. 点P到直线上一点的向量$\vec{p}$
   3. 判断标准：$\vec{p}\cdot \vec{n}$的正负

2. 光照计算：

   1. 光照强度 $I=I_0(\vec{L}\cdot \vec{N})$
   2. $\vec{L}$是光源方向向量
   3. $\vec{N}$是表面法向量
   4. $I_0$是光源强度

【实际应用】

• 碰撞检测
• 阴影计算
• 光照渲染

【应用实例】

1. 余弦相似度：

   1. $similarity=\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
   2. 用于文本相似度
   3. 用于推荐系统

2. 特征投影：

   1. 主成分分析(PCA)
   2. 投影值 = 数据向量·特征向量
   3. 用于降维

3. 核函数：

   1. 线性核：$K(\vec{x},\vec{y})=\vec{x}\cdot \vec{y}$
   2. 用于SVM算法

【应用价值】

• 降维处理
• 相似度度量
• 特征提取