概念织网重现解牛反思

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Jan 24, 20257 min read

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三角函数恒等式速查表

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基本恒等式

a

平方关系 商数关系 倒数关系 sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1 tan^{2} θ + 1 = sec^{2} θ cot^{2} θ + 1 = csc^{2} θ sec θ = \frac{1}{c o s θ} csc θ = \frac{1}{s i n θ} cot θ = \frac{1}{t a n θ}

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提示

a

和差公式

sin (A \pm B) cos (A \pm B) tan (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B = cos A cos B \mp sin A sin B = \frac{t a n A \pm t a n B}{1 \mp t a n A t a n B}

二倍角公式

sin 2 θ cos 2 θ tan 2 θ = 2 sin θ cos θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ = \frac{2 t a n θ}{1 - t a n ^{2} θ}

积化和差

sin A cos B cos A cos B sin A sin B = \frac{1}{2} [sin (A + B) + sin (A - B)] = \frac{1}{2} [cos (A - B) + cos (A + B)] = \frac{1}{2} [cos (A - B) - cos (A + B)]

半角公式

sin^{2} \frac{θ}{2} cos^{2} \frac{θ}{2} tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - c o s θ}{2} = \frac{1 + c o s θ}{2} = \frac{1 - c o s θ}{1 + c o s θ}

万能公式

t = tan \frac{θ}{2} sin θ = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} cos θ = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} tan θ = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}

快速记忆技巧

平方关系：勾股定理在单位圆上的体现
和差公式：注意正负号规律
二倍角：源自和角公式代入相等角
积化和差：与和差公式互为逆运算
半角公式：与二倍角关系密切
万能公式：统一解决复杂计算

使用注意

注意适用条件
考虑定义域
关注象限问题
验证结果合理性

应用建议

先识别问题类型
选择合适公式
注意转化方向
简化计算过程

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