余弦定理

[概念理解题] 余弦定理的内容是什么？它建立了三角形中哪些元素之间的关系？

提示

思考三角形中边与角的关系

余弦定理建立了三角形任意一边的平方与其他两边平方和及两边与该边夹角余弦的关系。

在任意三角形ABC中，如果三边长分别为a、b、c，对应的对角为A、B、C，则：

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B$ $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$

这是勾股定理的推广，适用于任意三角形而不仅限于直角三角形。

思路提示

几何元素识别 → 公式表达 → 与勾股定理关联 → 理解适用范围

[公式记忆题] 写出余弦定理的公式，并说明各字母代表的含义

提示

思考三角形的边与对应角的关系

余弦定理的公式如下：

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B$ $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$

其中：

a, b, c 分别表示三角形的三边长度
A, B, C 分别表示三边a, b, c的对角（即与边a对应的角为A，依此类推）
cosA, cosB, cosC 表示各角的余弦值

余弦定理也可以变形为： $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}$ $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$

思路提示

公式识别 → 参数理解 → 公式变形 → 不同表达形式关联

[推导证明题] 如何证明余弦定理？请给出一种证明方法。

提示

考虑使用坐标系或向量方法

证明余弦定理的一种方法（以 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ 为例）：

坐标法证明：

在平面直角坐标系中，将点A放在原点，角A的一边沿着x轴正方向。
点B的坐标为 $(c, 0)$ ，表示边c沿着x轴。
点C的坐标为 $(b cos A, b sin A)$ ，表示边b与x轴夹角为A。
计算边a的长度，即点B和点C之间的距离： $a^{2} = (c - b cos A)^{2} + (0 - b sin A)^{2}$ $a^{2} = c^{2} - 2 b c cos A + b^{2} cos^{2} A + b^{2} sin^{2} A$ $a^{2} = c^{2} - 2 b c cos A + b^{2} (cos^{2} A + sin^{2} A)$ $a^{2} = c^{2} - 2 b c cos A + b^{2}$ （因为 $cos^{2} A + sin^{2} A = 1$ ） $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

向量法证明也可以：利用向量的点积公式： $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$

思路提示

建立坐标系 → 确定三点坐标 → 计算两点距离 → 代数化简 → 得出余弦定理

[直接应用题] 在△ABC中，已知a=5，b=7，c=9，求角A的大小。

提示

利用余弦定理求角

要求角A，我们使用余弦定理中的角度公式：

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

代入已知条件：a=5，b=7，c=9

$cos A = \frac{7 ^{2} + 9 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \times 7 \times 9}$ $cos A = \frac{49 + 81 - 25}{126}$ $cos A = \frac{105}{126} = \frac{5}{6}$

由于 $cos A = \frac{5}{6} \approx 0.8333$ ，查表或使用反余弦函数，得到： $A = arccos (\frac{5}{6}) \approx 33.56°$

因此，角A约为33.56°。

思路提示

选择适当公式 → 代入已知条件 → 代数运算求cosA → 反三角函数求角度值

[综合应用题] 在△ABC中，已知b=8，c=12，A=60°，求三角形的面积和边a的长度。

提示

结合余弦定理和三角形面积公式

首先利用余弦定理求边a：

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ $a^{2} = 8^{2} + 1 2^{2} - 2 \times 8 \times 12 \times cos 60°$ $a^{2} = 64 + 144 - 2 \times 8 \times 12 \times 0.5$ $a^{2} = 208 - 96 = 112$ $a = 112 = 47 \approx 10.58$

然后计算三角形面积，使用正弦公式： $S = \frac{1}{2} b c sin A$ $S = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 \times sin 60°$ $S = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 \times \frac{3}{2}$ $S = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 \times \frac{3}{2}$ $S = 243 \approx 41.57$

因此，边a的长度为 $47 \approx 10.58$ ，三角形的面积为 $243 \approx 41.57$ 平方单位。

思路提示

使用余弦定理计算边长 → 代入已知条件求解 → 应用正弦公式计算面积 → 验证结果合理性

[知识联系题] 余弦定理与勾股定理有什么关系？余弦定理与正弦定理的应用场景有何区别？

提示

思考特殊情况下余弦定理的化简

余弦定理与勾股定理的关系：

余弦定理是勾股定理的推广形式。
当三角形为直角三角形时（例如角C=90°）， $cos C = cos 90° = 0$ ，则余弦定理： $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ 变为 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，即勾股定理。
这表明勾股定理是余弦定理的特例，适用于直角三角形的情况。

余弦定理与正弦定理的应用场景区别：

余弦定理适用于：
1. 已知三边求角（SSS→角）
2. 已知两边及其夹角求第三边（SAS→S）
3. 解决”三边三角”型问题
正弦定理适用于：
1. 已知一边和对应角，求另一边或角（边角对应关系）
2. 已知两角和一边求其他边（AAS或ASA→S）
3. 解决”边与角的比例”问题
区别总结：
1. 余弦定理处理边与夹角的关系
2. 正弦定理处理边与对角的关系

思路提示

余弦定理特例分析 → 代入直角条件 → 推导出勾股定理 → 比较两定理使用条件 → 总结应用场景差异