单位圆

【定义】

• 圆心在坐标原点
• 半径为1个单位长度的圆

【基本性质】

1. 方程：$x^2+y^2=1$
2. 任意点P(x,y)坐标：
   1. x = cosθ
   2. y = sinθ
   3. θ是从正x轴逆时针到OP的角

【重要推论】

1. ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
2. 单位圆上任意点到原点距离为1
3. 三角函数值范围：
   1. $-1\le \sin \theta \le 1$
   2. $-1\le \cos \theta \le 1$

【特殊角值表】

6. 0°, 30°, 45°, 60°, 90°的值：

角度 0° 30° 45° 60° 90° sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tan 0 1/√3 1 √3 ∞

7. 记忆方法：

• 0°: (1,0)
• 30°: (√3/2, 1/2)
• 45°: (√2/2, √2/2)
• 60°: (1/2, √3/2)
• 90°: (0,1)

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• cos值随角度增大而减小
• sin值随角度增大而增大

【象限规则】

10. 第一象限(0°~90°)：

• sin > 0, cos > 0
• x > 0, y > 0
• 全正

11. 第二象限(90°~180°)：

• sin > 0, cos < 0
• x < 0, y > 0
• 正负

12. 第三象限(180°~270°)：

• sin < 0, cos < 0
• x < 0, y < 0
• 全负

13. 第四象限(270°~360°)：

• sin < 0, cos > 0
• x > 0, y < 0
• 负正

【记忆口诀】 “All Students Take Calculus”

• All(第一象限全正)
• Students(第二象限正弦)
• Take(第三象限正切)
• Calculus(第四象限余弦)

周期性

16. 基本周期：

• sin θ: 2π
• cos θ: 2π
• tan θ: π

17. 周期公式：

• sin(θ+2π) = sin θ
• cos(θ+2π) = cos θ
• tan(θ+π) = tan θ

对称性

18. 奇偶性：

• sin(-θ) = -sin θ (奇函数)
• cos(-θ) = cos θ (偶函数)
• tan(-θ) = -tan θ (奇函数)

19. 互补关系：

• sin(π-θ) = sin θ
• cos(π-θ) = -cos θ
• sin(π/2-θ) = cos θ

【解题步骤】

25. 角速度计算：

• $\omega =\frac{2\pi }{30}=\frac{\pi }{15}$ (rad/min)

26. 高度函数：

• h = 20 + 20sin(πt/15)
• 20是轮心高度
• 20sin(πt/15)是高度变化量

27. 最大变化率：

• h’(t) = 20·(π/15)cos(πt/15)
• 最大值在cos(πt/15)=±1时
• |最大变化率| = 20π/15 ≈ 4.19 m/min

【应用技巧】

• 建立单位圆模型
• 利用正弦函数周期性
• 导数求变化率