基本三角函数的六边形记忆法

三角函数的比值关系定义了正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)四个重要的三角函数，它们是由正弦(sin)和余弦(cos)的比值及其倒数得到的。

基本定义

$\sin \theta$	$\cos \theta$
$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$	$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$
$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$	$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$

乘积关系

平方和关系

tan^2 θ+1=sin^2 θ蓝色上面两个顶点的平方和等于下面顶点的平方

倒数关系

tanθcotθ=1蓝色对角线相乘等于1

基本关系

1. 倒数关系(对角线相乘等于1)

• $\tan \theta \cdot \cot \theta =1$

• $\sec \theta \cdot \cos \theta =1$

• $\csc \theta \cdot \sin \theta =1$

2. 平方和关系

• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

• ${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta$

• ${\cot }^2\theta +1={\csc }^2\theta$

3. 乘积关系（六边形任何一个顶点等于相邻两个顶点的乘积）

• $\tan \theta \cos \theta =\sin \theta$
• $\sin \theta \cot \theta =\cos \theta$
• $\sin \theta \sec \theta =\tan \theta$
• $\tan \theta \csc \theta =\sec \theta$
• $\sec \theta \cot \theta =\csc \theta$
• $\csc \theta \cos \theta =\cot \theta$

应用示例 $\tan \theta =2$，求：$\sin \theta$、$\cos \theta$

已知：

知识结构

• 基本比值
  • 正弦/余弦/正切/余切/正割/余割
• 函数关系
  • 倒数关系
  • 平方关系
  • 乘积关系
• 应用
  • 计算
  • 证明
  • 转换

思考题

1. 为什么需要这些比值函数？
2. 各函数的图像特征是什么？
3. 如何理解周期性？
4. 实际应用中如何选择合适函数？