幂函数

【核心结论】 幂函数是形如$f(x)=x^n$的函数，其中$n$为非零实数。

【基本性质】

1. 定义域：

   1. $n$为偶数：$x\in R$
   2. $n$为奇数：$x\in R$
   3. $n$为分数：当分母为偶数时，$x\ge 0$
   4. $n$为分数：当分母为奇数时，$x\in R$

2. 值域：

   1. $n>0$：$[0,+\infty )$或$(0,+\infty )$
   2. $n<0$：$(0,+\infty )$

3. 单调性：

   1. $n>0$：在$(0,+\infty )$上单调递增
   2. $n<0$：在$(0,+\infty )$上单调递减

4. 奇偶性：

   1. $n$为奇数：奇函数
   2. $n$为偶数：偶函数

【记忆技巧】

• 指数正负决定增减（正增负减）
• 指数奇偶定奇偶（奇奇偶偶）
• 分母偶数要非负（根号下要≥0）

【关联考点】

• 函数的单调性
• 函数的奇偶性
• 函数的定义域和值域

【核心结论】 幂函数图像的基本特征：

1. 特殊点：

   1. 必过点$(1,1)$
   2. 当$n>0$时过$(0,0)$
   3. 当$n$为整数时过$(-1,\pm 1)$

2. 图像形状：

   1. $n=1$：直线
   2. $n=2$：抛物线
   3. $n=3$：三次曲线
   4. $n=-1$：双曲线
   5. $n=\frac{1}{2}$：半抛物线

【记忆技巧】

• “一二三，线抛曲”（$n=1,2,3$的图像）
• “负一倒，开方翘”（$n=-1$和$n=\frac{1}{2}$的图像）

【思维脚手架】 判断图像步骤：

1. 确定特殊点
2. 判断单调性
3. 判断对称性
4. 判断渐近线

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• $n<0$时图像不过原点
• 分数幂要考虑定义域

【核心应用】

1. 物理领域：

   1. 重力势能：$E_p=mgh$
   2. 离心力：$F=m{v}^2/r$
   3. 光强衰减：$I=I_0/r^2$

2. 经济领域：

   1. 复利计算：$A=P(1+r{)}^n$
   2. 成本函数：$C=a{x}^2+bx+c$
   3. 边际效用：$U^{\prime }(x)=k{x}^{-\alpha }$

3. 生物领域：

   1. 种群增长：$P=P_0{r}^t$
   2. 细胞分裂：$N=2^n$
   3. 生长曲线：$y=a{x}^b$

【应用技巧】

1. 建立模型：

   1. 确定变量
   2. 找出关系
   3. 写出函数

2. 分析问题：

   1. 单调性分析
   2. 最值问题
   3. 拐点分析

【思维脚手架】 解决应用题步骤：

1. 理解实际背景
2. 提取数学信息
3. 建立函数模型
4. 求解数学问题
5. 解释实际意义

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 单位统一性
• 实际可行性
• 结果合理性

【核心方法】

1. 建立模型：

   1. 确定目标函数
   2. 写出约束条件
   3. 转化为幂函数

2. 求解步骤：

   1. 求导数$f^{\prime }(x)$
   2. 解$f^{\prime }(x)=0$
   3. 判断极值
   4. 考虑端点

【典型例题】

1. 长方形周长一定，求最大面积：
   1. 设宽为$x$，长为$\frac{P}{2}-x$
   2. 面积$S=x(\frac{P}{2}-x)$
   3. 求导得$x=\frac{P}{4}$时最大

【思维脚手架】 最优化问题解法：

1. 列出目标函数
2. 确定约束条件
3. 转化为一元函数
4. 求导求极值
5. 验证结果

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域限制
• 端点情况
• 结果验证

【建模步骤】

1. 分析问题：

   1. 提取关键信息
   2. 确定变量关系
   3. 明确求解目标

2. 构建模型：

   1. 选择幂函数类型
   2. 确定参数含义
   3. 写出函数表达式

3. 求解验证：

   1. 数学求解
   2. 实际检验
   3. 模型优化

【典型案例】

1. 水箱排水模型：

   1. 水深$h$与时间$t$关系
   2. $h=h_0(1-\frac{t}{T}{)}^2$

2. 运动衰减模型：

   1. 速度$v$与距离$x$关系
   2. $v=v_0{x}^{-\alpha }$

【思维脚手架】 建模流程：

1. 理解实际问题
2. 提取数学信息
3. 建立函数关系
4. 确定参数值
5. 检验与应用

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 模型假设合理性
• 参数物理意义
• 结果实际可行性

【核心技巧】

1. 换元法：

   1. 同底换元：$x^4=x^2$ → 设$t=x^2$
   2. 倒数换元：$x+\frac{1}{x}$ → 设$t=x+\frac{1}{x}$
   3. 根式换元：$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}$ → 设$t=\sqrt{x}$

2. 配方法：

   1. 完全平方：$(x^n{)}^2+2a{x}^n+b$
   2. 立方差：$x^3\pm a^3$
   3. 平方差：$x^2-a^2$

3. 因式分解：

   1. 公因式：$x^3+x^2=x^2(x+1)$
   2. 分组法：$x^4+x^3-x-1=(x^3-1)(x+1)$
   3. 十字相乘

【思维脚手架】 解题步骤：

1. 观察方程特征
2. 选择合适方法
3. 规范求解过程
4. 验证解的合理性

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域限制
• 解的遗漏
• 指数运算规律

【解题技巧】

1. 单调性法：

   1. 利用增减性：$x^n>a$ → $x>a^{\frac{1}{n}}$（$n>0$时）
   2. 保号性：$x^n<0$ → 无解（$n$为偶数时）
   3. 区间讨论：分段函数的不等式

2. 换元法：

   1. 同类项：$x^4>x^2$ → $t>1$（$t=x^2$）
   2. 复合式：$x^2+\frac{1}{x^2}>2$ → $t>2$（$t=x^2+\frac{1}{x^2}$）

3. 配方法：

   1. 完全平方：$(x^n-a{)}^2\ge 0$
   2. 均值不等式：$\frac{x^n+x^m}{2}\ge \sqrt{x^n\cdot x^m}$

【思维脚手架】 解题流程：

1. 分析不等式形式
2. 确定解题方法
3. 考虑定义域
4. 求解并验证

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 不等号方向
• 区间开闭
• 解集表示

【证明技巧】

1. 导数法：

   1. 单调性：$f^{\prime }(x)>0$或$f^{\prime }(x)<0$
   2. 最值：$f^{\prime }(x)=0$的点
   3. 凹凸性：$f^{\prime \prime }(x)$的符号

2. 定义法：

   1. 奇偶性：$f(-x)=\pm f(x)$
   2. 单调性：$x_1<x_2$ → $f(x_1)<f(x_2)$
   3. 有界性：$|f(x)|\le M$

3. 反证法：

   1. 假设结论不成立
   2. 推导矛盾
   3. 得证原命题

【思维脚手架】 证明步骤：

1. 分析题目要求
2. 选择证明方法
3. 严谨推导
4. 得出结论

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 证明的完整性
• 推理的严谨性
• 结论的普遍性

【核心比较】

1. 定义形式：

   1. 幂函数：$f(x)=x^n$（底数变、指数固定）
   2. 指数函数：$f(x)=a^x$（底数固定、指数变）

2. 图像特征：

   1. 幂函数：过点$(1,1)$，可能过原点
   2. 指数函数：过点$(0,1)$，不过原点

3. 定义域：

   1. 幂函数：与指数$n$有关
   2. 指数函数：$x\in R$（$a>0$且$a\ne 1$）

【记忆技巧】

• “幂变底，指变高”（区分定义特点）
• “幂一点，指零一”（记忆特殊点）

【概念地图】 幂函数 → 指数可求导 → 指数函数 → 对数可求导 → 对数函数

【核心关系】

1. 反函数关系：

   1. $y=x^n$ 与 $y=\sqrt[n]{x}$互为反函数
   2. $y=x^{-n}$ 与 $y=x^n$关于$y=x$对称

2. 图像关系：

   1. 关于$y=x$对称
   2. 单调性相反
   3. 定义域值域互换

3. 应用联系：

   1. 幂的运算 ↔ 对数的运算
   2. 幂方程 ↔ 对数方程
   3. 幂不等式 ↔ 对数不等式

【思维脚手架】 解题互化：

1. 幂转对数
2. 对数转幂
3. 选择简便方法

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域变化
• 单调性变化
• 解集对应关系

【解题策略】

1. 函数复合：

   1. 幂指复合：$[f(x){]}^{g(x)}$
   2. 幂对复合：$[f(x){]}^n=e^{n\ln |f(x)|}$
   3. 多重复合：通过中间函数转化

2. 方程组合：

   1. 幂指方程：转化为对数
   2. 幂对方程：统一形式
   3. 混合方程：选择主元

3. 不等式组合：

   1. 单调性分析
   2. 分类讨论
   3. 区间确定

【典型例题】

1. 解方程：$2^{x^2}=x^4$
   1. 取对数：$x^2\ln 2=\ln x^4$
   2. 解得：$x=0$或$x=2$

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域交集
• 解的验证
• 等价变形

【解题思路】

1. 求导数： $f^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}+b{x}^{b-1}$ $=x^{b-1}(a{x}^{a-b}+b)$

2. 分析条件：

   1. $x>0$时$f^{\prime }(x)>0$
   2. $x^{b-1}(a{x}^{a-b}+b)>0$

3. 讨论情况：

   1. 当$x\to 0^{+}$时，$x^{a-b}\to 0$
   2. 要使$f^{\prime }(x)>0$，必须$b>0$
   3. 当$x\to +\infty$时，$x^{a-b}\to +\infty$

【答案】 $b>0$

【考点分析】

• 幂函数求导
• 单调性判断
• 极限思想

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 分式因子符号
• 极限讨论
• 定义域条件

【解题思路】

1. 连续条件： ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$ ${\lim }_{x\to 0^{-}}(ax+b)={\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^2$ $b=0$

2. 可导条件： ${\lim }_{x\to 0^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{f}^{\prime }(x)$ $a={\lim }_{x\to 0^{+}}2x=0$

3. 验证： $a=0,b=0$时函数在$x=0$处可导

【答案】 $a=0,b=0$

【考点分析】

• 分段函数
• 连续性
• 可导性

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 左右极限
• 导数存在条件
• 结果验证

【解题思路】

1. 换元处理： 令$t=x^2$，原式化为： $t^2-5t+4>0$ $(t-1)(t-4)>0$

2. 分类讨论： $t<1$或$t>4$ $x^2<1$或$x^2>4$

3. 解区间： $x<-2$或$-1<x<1$或$x>2$

【答案】 $(-\infty ,-2)\cup (-1,1)\cup (2,+\infty )$

【考点分析】

• 换元法
• 二次不等式
• 区间表示

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 换元条件
• 区间开闭
• 解集表示

【解题思路】

1. 求导数： $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+a$

2. 最小值条件：

   1. $f^{\prime }(1)=0$（导数为零）
   2. $f^{\prime \prime }(1)>0$（二阶导数大于零）
   3. $f(1)=1$（函数值为1）

3. 解方程组：

   1. $3-6+a=0$ → $a=3$
   2. $1-3+3+b=1$ → $b=0$

【答案】 $a=3,b=0$

【考点分析】

• 导数应用
• 最值条件
• 方程组求解

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 最值的充分条件
• 二阶导数判别
• 解的验证

【解题思路】

1. 几何意义：

   1. $x^2+y^2\le 1$表示单位圆内部及圆周
   2. $xy\ge 0$表示第一、三象限及坐标轴

2. 解析方法：

   1. 第一象限：$x\ge 0,y\ge 0,x^2+y^2\le 1$
   2. 第三象限：$x\le 0,y\le 0,x^2+y^2\le 1$

3. 解集表示： 点集$\{(x,y)|x^2+y^2\le 1,xy\ge 0\}$

【答案】 单位圆内部及圆周上的点，且位于第一、三象限及坐标轴上

【考点分析】

• 不等式几何意义
• 集合表示
• 区域描述

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 边界点情况
• 坐标轴上的点
• 解集完整性

【解题思路】

1. 分类讨论：

   1. 当$x\ge 0$时，$f(x)=x^2\ge 0$ 所以$f(f(x))=(x^2{)}^2=x^4$

   2. 当$x<0$时，$f(x)=-x^2<0$ 所以$f(f(x))=-(-x^2{)}^2=-x^4$

2. 合并表达式： $f(f(x))=\{\begin{array}{ll}{x}^4,& x\ge 0\\ -x^4,& x<0\end{array}$

3. 验证： 检查分段点$x=0$处的连续性

【答案】 $f(f(x))=\{\begin{array}{ll}{x}^4,& x\ge 0\\ -x^4,& x<0\end{array}$

【考点分析】

• 复合函数
• 分段函数
• 分类讨论

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 分类讨论完整性
• 复合顺序
• 连续性验证

【解题思路】

1. 切点条件：

   1. 设切点为$(a,a)$
   2. $f(a)=a$
   3. $f^{\prime }(a)=1$

2. 方程求解：

   1. $a^3-3a+m=a$ …(1)
   2. $3a^2-3=1$ …(2)
   3. 由(2)得：$a^2=\frac{4}{3}$
   4. 代入(1)得：$m=2$

【答案】 $m=2$

【考点分析】

• 切点条件
• 导数应用
• 方程求解

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 切点的完整条件
• 解的验证
• 参数取值

【解题思路】

1. 函数分析：

   1. $|x{|}^a$在$[-1,1]$上对称
   2. $x=\pm 1$时取最大值
   3. $x=0$时取最小值

2. 条件应用：

   1. $f(1)=1^a=1$
   2. $f(-1)=|-1{|}^a=1$
   3. $f(1)=4$

3. 求解： $1^a=4$ $a=2$

【答案】 $a=2$

【考点分析】

• 绝对值函数
• 幂函数性质
• 最值问题

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 绝对值的处理
• 区间端点讨论
• 对称性应用

【解题思路】

1. 几何意义：

   1. 原不等式表示椭圆外部及边界
   2. 第一象限限制：$x\ge 0,y\ge 0$

2. 参数方程：

   1. $x=2\cos t$
   2. $y=3\sin t$
   3. $t\in [0,\frac{\pi }{2}]$

3. 解集表示： $\{(x,y)|x\ge 0,y\ge 0,\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\ge 1\}$

【答案】 第一象限中椭圆外部及边界上的点

【考点分析】

• 圆锥曲线
• 不等式区域
• 参数方程

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 边界点情况
• 象限限制
• 解集表示方法

【方程解法】

1. 基本方程：

   1. 同底化简：$x^a=x^b$ → $a=b$或$x=0,1$
   2. 换元法：$x^4=x^2$ → 设$t=x^2$
   3. 因式分解：$x^3-x=0$ → $x(x^2-1)=0$

2. 复合方程：

   1. 分类讨论：分段函数
   2. 等价转化：幂指互换
   3. 参数方程：参数化简

3. 特殊方程：

   1. 绝对值：$|x{|}^a=b$
   2. 分式：$\frac{x^m}{x^n}=k$
   3. 根式：$\sqrt[n]{x}=a$

【不等式解法】

1. 基本不等式：

   1. 单调性：利用增减性
   2. 换元法：统一形式
   3. 配方法：完全平方式

2. 复合不等式：

   1. 区间讨论
   2. 分类讨论
   3. 函数图像

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 定义域限制
• 等价转化
• 解的验证

【导数应用】

1. 单调性：

   1. $f^{\prime }(x)>0$：单调递增
   2. $f^{\prime }(x)<0$：单调递减
   3. $f^{\prime }(x)=0$：驻点

2. 最值问题：

   1. 导数零点法
   2. 端点比较法
   3. 二阶导数法

3. 切点问题：

   1. 点斜条件
   2. 相切条件
   3. 切线方程

【解题步骤】

1. 求导数：

   1. 幂函数求导
   2. 复合函数求导
   3. 分段函数求导

2. 建立方程：

   1. 导数等于零
   2. 导数大于零
   3. 导数等于斜率

3. 解方程验证：

   1. 解出关键点
   2. 验证条件
   3. 确定结果

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 求导规则
• 定义域变化
• 解的合理性

【几何应用】

1. 图像特征：

   1. 对称性：奇偶性
   2. 交点：方程求解
   3. 切点：导数应用

2. 区域问题：

   1. 不等式区域
   2. 面积计算
   3. 旋转体积

3. 参数方程：

   1. 参数化表示
   2. 参数范围
   3. 区域描述

【解题思路】

1. 建立模型：

   1. 确定变量
   2. 写出方程
   3. 确定条件

2. 分析求解：

   1. 选择方法
   2. 计算过程
   3. 验证结果

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 几何意义
• 参数范围
• 解的实际意义

【解题思路】

1. 求导数： $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ $=3x(x-2)$

2. 求零点： $f^{\prime }(x)=0$ $x=0$或$x=2$

3. 分区间讨论：

   1. $x<0$时，$f^{\prime }(x)<0$
   2. $0<x<2$时，$f^{\prime }(x)<0$
   3. $x>2$时，$f^{\prime }(x)>0$

【答案】 单调递减区间：$(-\infty ,2)$ 单调递增区间：$(2,+\infty )$

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 零点的完整性
• 区间的开闭
• 符号的判断

【解题思路】

1. 因式分解： $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

2. 零点分析： $x=1$或$x=3$

3. 分区间讨论：

   1. $x<1$时，$(+)(-)=负$
   2. $1<x<3$时，$(-)(-)=正$
   3. $x>3$时，$(+)(+)=正$

【答案】 $(-\infty ,1)\cup (3,+\infty )$

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 不等号方向
• 区间开闭
• 解集表示

【解题思路】

1. 列方程： $x^2=2x$ $x^2-2x=0$

2. 因式分解： $x(x-2)=0$ $x=0$或$x=2$

3. 求坐标：

   1. 当$x=0$时，$y=0$
   2. 当$x=2$时，$y=4$

【答案】 交点坐标为$(0,0)$和$(2,4)$

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 方程的完整解
• 代入验证
• 坐标对应关系

【解题思路】

1. 定义域分析：

   1. $|x|\ge 0$，所以定义域为$R$
   2. $f(x)=\sqrt{|x|}$

2. 函数性质：

   1. 偶函数（关于y轴对称）
   2. $x=0$时，$f(0)=0$
   3. $|x|$增大，函数值增大

3. 值域确定： 当$x\in R$时，$|x|\ge 0$ 所以$f(x)\ge 0$ 且$f(x)$可取任意非负实数

【答案】 值域为$[0,+\infty )$

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 绝对值的性质
• 开闭区间
• 函数的对称性

【解题思路】

1. 配方法： $f(x)=x^2-2x+3$ $=(x-1{)}^2+2$

2. 导数法： $f^{\prime }(x)=2x-2$ $f^{\prime }(x)=0$ → $x=1$ $f^{\prime \prime }(x)=2>0$，为最小值点

3. 求最小值： $f(1)=(1-1{)}^2+2=2$

【答案】 最小值为2

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 配方完整性
• 二阶导数判别
• 定义域考虑

【解题思路】

1. 换元处理： 令$t=x^2$，原式化为： $t^2-5t+4=0$

2. 解二次方程： $(t-1)(t-4)=0$ $t=1$或$t=4$

3. 还原求解： $x^2=1$或$x^2=4$ $x=\pm 1$或$x=\pm 2$

【答案】 $x=-2,-1,1,2$

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 换元的完整性
• 开方的正负号
• 解的验证

【解题思路】

1. 奇函数判断： $f(-x)=(-x{)}^3-(-x)$ $=-x^3+x$ $=-(x^3-x)$ $=-f(x)$

2. 图像特征：

   1. 关于原点对称
   2. 过原点
   3. 三次函数

3. 结论验证： 函数为奇函数

【答案】 $f(x)$为奇函数，图像关于原点对称

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 运算规律
• 完整验证
• 几何意义

【解题思路】

1. 第一问：

   1. 代入$t=2$
   2. $s=4.9\times 2^2=19.6$

2. 第二问：

   1. 代入$s=19.6$
   2. $19.6=4.9t^2$
   3. $t^2=4$
   4. $t=2$（舍去负值）

【物理意义】

• $s=4.9t^2$是重力加速度为9.8m/s^2时的位移公式
• $t$必须为正值

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 单位统一
• 物理意义
• 解的合理性

【解题思路】

1. 建立模型：

   1. 设宽为$y$米
   2. 面积：$xy=64$
   3. 周长：$P=2(x+y)$
   4. $y=\frac{64}{x}$
   5. $P=2(x+\frac{64}{x})$

2. 求导数： $P^{\prime }=2(1-\frac{64}{x^2})$

3. 求最小值：

   1. $P^{\prime }=0$ → $x=8$
   2. $y=8$
   3. $P_{min}=32$

【答案】 最小栅栏长度为32米

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 函数定义域
• 二阶导数验证
• 实际意义

【解题思路】

1. 初始数量：

   1. $t=0$时
   2. $N=1000\times 2^0=1000$

2. 4小时后：

   1. $t=4$
   2. $N=1000\times 2^2=4000$

3. 求时间：

   1. $8000=1000\times 2^{\frac{t}{2}}$
   2. $8=2^{\frac{t}{2}}$
   3. $3=\frac{t}{2}$
   4. $t=6$

【生物意义】

• 细菌呈指数增长
• 每2小时翻倍一次

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 指数运算
• 对数运算
• 时间单位