弧度卡片

【核心结论】

• 定义：弧度是圆弧长度与半径的比值
• 特殊值：
  1. 一周 = $2\pi$ 弧度
  2. 平角 = $\pi$ 弧度
  3. 直角 = $\frac{\pi }{2}$ 弧度

【记忆技巧】 “饼π”思维：

• 整个饼是2π
• 半个饼是π
• 四分之一饼是π/2

【优点】

1. 与圆的大小无关
2. 在微积分中更方便
3. 简化公式表达

【转换公式】

• 角度转弧度：$弧度=\frac{\pi }{180°}\times 角度$
• 弧度转角度：$角度=\frac{180°}{\pi }\times 弧度$

【常用对应值】

• 30° = $\frac{\pi }{6}$ rad
• 45° = $\frac{\pi }{4}$ rad
• 60° = $\frac{\pi }{3}$ rad
• 90° = $\frac{\pi }{2}$ rad

【易错提醒】 ⚠️ 注意：

• 计算器要切换到正确的模式
• π不要写成3.14计算

【解题步骤】 6. 60°对应的弧长：

• 先转换成弧度：$60°=\frac{\pi }{3}$ rad
• 弧长 = $5\times \frac{\pi }{3}\approx 5.24$ (cm)

7. 弧长10cm对应的弧度：
   1. 弧度 = $\frac{弧长}{半径}=\frac{10}{5}=2$ rad
   2. 约等于114.6°

【计算技巧】 记住公式：$l=r\theta$

• l是弧长
• r是半径
• θ是弧度

【解题步骤】 12. 角速度计算：

• 每分钟120圈 = 120×2π rad/min
• 转换为每秒：$\omega =\frac{120\times 2\pi }{60}=4\pi$ rad/s

13. 线速度计算：

• 线速度 = 角速度×半径
• $v=4\pi \times 3=12\pi$ m/s

【物理应用】

• 角速度：$\omega =\frac{2\pi n}{T}$
• 线速度：$v=\omega r$
• 周期：$T=\frac{2\pi }{\omega }$

【注意事项】 ⚠️ 单位转换要注意：

• 圈数到弧度
• 分钟到秒

【解题步骤】

1. 角度转弧度：

   1. $120°=\frac{2\pi }{3}$ rad

2. 扇形面积：

   1. $S=\frac{1}{2}\times 5^2\times \frac{2\pi }{3}$
   2. $S=\frac{25\pi }{3}\approx 26.18$ (m²)

3. 弧长计算：

   1. $l=5\times \frac{2\pi }{3}\approx 10.47$ (m)

【实用提示】 扇形问题三要素：

• 半径(r)
• 弧度(θ)
• 面积(S)或弧长(l)

【解题步骤】 8. 弧长计算：

• 15°= $\frac{\pi }{12}$ rad
• $l=1.2\times \frac{\pi }{12}\approx 0.314$ (m)

9. 最大速度：
   1. 角速度 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2.2}$
   2. 最大线速度 $v_{max}=\omega A$
   3. $v_{max}=\frac{2\pi }{2.2}\times 0.314\approx 0.897$ (m/s)

【物理意义】

• 摆动是简谐运动
• 速度在平衡位置最大
• 位移在两端最大

【解题步骤】 15. 地球角速度：

• ${\omega }_{地}=\frac{2\pi }{24\times 3600}\approx 7.27\times 10^{-5}$ rad/s

16. 月球角速度：

• ${\omega }_{月}=\frac{2\pi }{27.3\times 24\times 3600}\approx 2.66\times 10^{-6}$ rad/s

17. 地表点线速度：

• $v={\omega }_{地}\times r$
• $v=7.27\times 10^{-5}\times 6.371\times 10^6\approx 463$ m/s

【应用延伸】

• 昼夜更替周期
• 潮汐现象
• 地球同步卫星

【解题步骤】 23. 平均角速度：

• 90° = $\frac{\pi }{2}$ rad
• ${\omega }_{avg}=\frac{\pi /2}{2}=\frac{\pi }{4}$ rad/s

24. 角加速度（匀加速）：

• $\omega =\alpha t$（从静止开始）
• $\frac{\pi }{4}=\frac{\alpha \times 2}{2}$
• $\alpha =\frac{\pi }{4}$ rad/s²

25. 最大线速度：

• $v_{max}={\omega }_{max}\times r$
• $v_{max}=\frac{\pi }{2}\times 0.8\approx 1.26$ m/s

【工程应用】

• 机器人运动控制
• 电机速度规划
• 工业自动化