正弦定理

正弦定理表达了三角形中各边长与其对角正弦值之比相等的关系。

在任意三角形ABC中，如果三边长分别为a、b、c，对应的对角为A、B、C，则：

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

其中R是三角形的外接圆半径。

这表明：三角形中，边与其对角正弦值的比值相等，且等于直径。

正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

其中：

• a, b, c 分别表示三角形三边的长度
• A, B, C 分别表示三边的对角（即与边a, b, c相对的角）
• R 表示三角形外接圆的半径

也可以写为：$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=\frac{1}{2R}$

解题步骤：

1. 首先计算角C： 已知A=30°，B=45°，则C=180°-A-B=180°-30°-45°=105°

2. 使用正弦定理求边a： $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 即：$a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{6\sin 30°}{\sin 105°}=\frac{6\times 0.5}{\sin 105°}=\frac{3}{\sin 105°}$ 由于$\sin 105°=\sin (180°-75°)=\sin 75°=\cos 15°$ $a=\frac{3}{\cos 15°}\approx 3.11$

3. 使用正弦定理求边b： $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 即：$b=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{6\sin 45°}{\sin 105°}=\frac{6\times 0.7071}{\sin 105°}=\frac{4.243}{\sin 105°}\approx 4.39$

因此，a≈3.11，b≈4.39

证明：

1. 设三角形ABC的外接圆半径为R，将三角形放在外接圆中

2. 根据圆的性质，∠A是圆的一个圆周角，它所对的弧是BC 由圆周角定理：∠A = 弧BC/2 = ∠BOC/2 其中O是圆心，∠BOC是对应的圆心角

3. 弦BC的长度为a，由正弦值定义： $\sin A=\frac{a/2}{R}=\frac{a}{2R}$

4. 因此：$\frac{a}{\sin A}=2R$

5. 同理可证：$\frac{b}{\sin B}=2R$和$\frac{c}{\sin C}=2R$

6. 所以：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

这表明正弦定理的几何意义是：三角形中，边与其对角正弦值的比值等于三角形外接圆的直径。

解题步骤：

1. 设$\sin A=3k$，$\sin B=4k$，$\sin C=5k$，其中k为比例系数 由于${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C\le 3$（三个内角的正弦值平方和不超过3） 有$(3k{)}^2+(4k{)}^2+(5k{)}^2\le 3$ $9k^2+16k^2+25k^2\le 3$ $50k^2\le 3$ $k^2\le \frac{3}{50}$ $k\le \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}$

2. 由正弦定理，设$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 则$a=2R\sin A=2R\cdot 3k$ $b=2R\sin B=2R\cdot 4k$ $c=2R\sin C=2R\cdot 5k$

3. 由三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$ $24\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot 3k\cdot 2R\cdot 4k\cdot 5k$ $24\sqrt{3}=30R^2{k}^3$ $R^2{k}^3=\frac{24\sqrt{3}}{30}=\frac{4\sqrt{3}}{5}$

4. 再由正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=2R$ 代入各边表达式： $a=2R\cdot 3k=6Rk$ $b=2R\cdot 4k=8Rk$ $c=2R\cdot 5k=10Rk$

5. 由第3步得$R^2{k}^3=\frac{4\sqrt{3}}{5}$，则$Rk=\sqrt[3]{\frac{4\sqrt{3}}{5}}{R}^{2/3}$ 替换：$a=6\cdot \sqrt[3]{\frac{4\sqrt{3}}{5}}{R}^{2/3}$

6. 从正弦定理：$\sin A=\frac{a}{2R}$，得$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{a}{2\cdot 3k}=\frac{a}{6k}$ 代入第5步：$a=6\cdot \sqrt[3]{\frac{4\sqrt{3}}{5}}(\frac{a}{6k}{)}^{2/3}$ 解得：$a=6\sqrt{2}$，$b=8\sqrt{2}$，$c=10\sqrt{2}$

因此，三角形的三边长分别为：$a=6\sqrt{2}$，$b=8\sqrt{2}$，$c=10\sqrt{2}$

正弦定理与三角形面积公式的联系：

1. 三角形的面积公式： $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$

2. 由正弦定理： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 可得：$a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$

3. 代入面积公式： $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}(2R\sin A)(2R\sin B)\sin C=2R^2\sin A\sin B\sin C$

4. 这给出了一个重要结论： $S=2R^2\sin A\sin B\sin C$ 即三角形面积等于外接圆半径的平方乘以三个内角正弦的乘积再乘以2

5. 应用示例： 已知三角形的两个角和面积，可以求出外接圆半径： $R=\sqrt{\frac{S}{2\sin A\sin B\sin C}}$

   然后利用正弦定理求出三边长： $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$

这种联系使我们能够在已知三角形面积和角度信息的情况下，轻松计算出三角形的边长和外接圆半径。