三角函数高考真题1-5

解析：

1. 先将函数$f(x)=A\sin x+B\cos x$转化为标准形式 令$A=\sqrt{A^2+B^2}\sin \phi$，$B=\sqrt{A^2+B^2}\cos \phi$，其中$\phi$为辅助角 则$f(x)=\sqrt{A^2+B^2}(\sin \phi \sin x+\cos \phi \cos x)$ $=\sqrt{A^2+B^2}\cos (x-\phi )$

2. 函数$\sqrt{A^2+B^2}\cos (x-\phi )$的最大值为$\sqrt{A^2+B^2}$，最小值为$-\sqrt{A^2+B^2}$

3. 由已知条件： 最大值$\sqrt{A^2+B^2}=5$ 最小值$-\sqrt{A^2+B^2}=3$

   这两个等式不可能同时成立，因此考虑函数可能存在常数项

4. 重新分析：设$f(x)=A\sin x+B\cos x+C$，其中$C$为常数 则最大值为$\sqrt{A^2+B^2}+C=5$ 最小值为$-\sqrt{A^2+B^2}+C=3$

5. 解方程组： $\sqrt{A^2+B^2}+C=5$ $-\sqrt{A^2+B^2}+C=3$

   两式相减：$2\sqrt{A^2+B^2}=2$ 得：$\sqrt{A^2+B^2}=1$，即$A^2+B^2=1$

【核心结论】

三角函数线性组合可转化为单一三角函数形式：$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\cos (x-\phi )$或$\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$，其中$\sin \phi =\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$，$\cos \phi =\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$

【记忆技巧】

“正弦加余弦，振幅求模长”——三角函数线性组合的振幅等于系数的平方和开根号，就像向量的模长计算

【关联考点】

1. 三角恒等变换
2. 函数最值问题
3. 辅助角公式应用

【题目总结】

解题思路链条：转化为标准三角函数形式→分析最大最小值特点→发现常数项存在→建立方程组→解出目标值

解析：

1. 从$\sin \theta +\cos \theta =\frac{4}{3}$出发，我们需要求$\sin \theta \cdot \cos \theta$

2. 方法一：平方法 $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=(\frac{4}{3}{)}^2$ ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta =\frac{16}{9}$ $1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{16}{9}$（利用${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$） $2\sin \theta \cos \theta =\frac{16}{9}-1=\frac{7}{9}$ $\sin \theta \cos \theta =\frac{7}{18}$

3. 方法二：构造新方程 令$x=\sin \theta$，$y=\cos \theta$，则 $x+y=\frac{4}{3}$ $x^2+y^2=1$（三角恒等式）

   求$xy$的值，使用韦达定理思想： 如果$x$和$y$是方程$t^2-(x+y)t+xy=0$的两根，则 $x+y=\frac{4}{3}$和$xy$是我们要求的值

   又因为$x^2+y^2=1$，而$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy$ 所以$(\frac{4}{3}{)}^2=1+2xy$ $\frac{16}{9}=1+2xy$ $2xy=\frac{16}{9}-1=\frac{7}{9}$ $xy=\frac{7}{18}$

【核心结论】

三角函数的和与积转换问题中，可以利用平方关系和三角恒等式巧妙求解，避免直接求角

【记忆技巧】

“平一平，减一减”——遇到三角函数求积问题，可以先平方转化为和的形式，再利用基本恒等式化简

【关联考点】

1. 三角函数的恒等变换
2. 韦达定理在非多项式问题中的应用
3. 代数方法解决三角问题

【易错提醒】

容易犯的错误：

1. ❌ 直接从$\sin \theta +\cos \theta =\frac{4}{3}$求$\theta$值再计算
2. ❌ 错用$(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$
3. ❌ 忘记检查$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$条件

【题目总结】

解题思路链条：构建平方关系→引入三角恒等式→转化为关于积的方程→求解目标值

解析：

1. 设直角三角形三边长分别为1、$\tan \alpha$和斜边$c$

2. 由勾股定理： $c^2=1^2+(\tan \alpha {)}^2=1+{\tan }^2\alpha$ $c=\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }$

3. 利用三角函数关系： $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ 所以$c=\frac{1}{|\cos \alpha |}$

   由于$\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，所以$\cos \alpha >0$ 因此$c=\frac{1}{\cos \alpha }$

4. 直角三角形的外接圆半径$R$等于斜边的一半，即： $R=\frac{c}{2}=\frac{1}{2\cos \alpha }$

5. 求$R$的取值范围： 当$\alpha \to 0^{+}$时，$\cos \alpha \to 1$，$R\to \frac{1}{2}$ 当$\alpha \to {\frac{\pi }{2}}^{-}$时，$\cos \alpha \to 0^{+}$，$R\to +\infty$

   所以$R$的取值范围是$[\frac{1}{2},+\infty )$

【核心结论】

直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，结合三角函数转化可求解范围问题

【记忆技巧】

“半斜连通径，$\sec$放大镜”——直角三角形外接圆半径是斜边的一半，而斜边$c=\frac{1}{\cos \alpha }$正是$\sec \alpha$

【关联考点】

1. 直角三角形的外接圆性质
2. 三角函数恒等式$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$
3. 函数的单调性与值域

【概念地图】

勾股定理 → 求斜边长 → 三角函数恒等变换 → 外接圆半径公式 → 函数极限与范围

【题目总结】

解题思路链条：利用勾股定理求斜边→三角函数恒等变换简化→应用外接圆半径公式→分析$\alpha$变化导致的$R$范围

证明：

1. 在三角形ABC中，设三边长分别为a, b, c 根据余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

2. 已知$\cos A+\cos B+\cos C=\frac{3}{2}$ 代入上述表达式： $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{3}{2}$

3. 化简左边： $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ $=\frac{1}{2}(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a})-\frac{1}{2}(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab})$

4. 利用均值不等式： 对于任意正数$x$和$y$，有$x+y\ge 2\sqrt{xy}$，当且仅当$x=y$时取等号

   因此： $\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge 2$，当且仅当$b=c$时取等号 $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge 2$，当且仅当$a=c$时取等号 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$，当且仅当$a=b$时取等号

5. 代入第3步式子： $\frac{1}{2}(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a})-\frac{1}{2}(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab})$ $\ge \frac{1}{2}(2+2+2)-\frac{1}{2}(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab})$ $=3-\frac{1}{2}(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab})$

6. 由柯西不等式： $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\ge 3$，当且仅当$\frac{a}{bc}=\frac{b}{ac}=\frac{c}{ab}$时取等号 即$\frac{a}{bc}=\frac{b}{ac}=\frac{c}{ab}$时，$a=b=c$

7. 因此： $\cos A+\cos B+\cos C\le 3-\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}$

   又因为已知$\cos A+\cos B+\cos C=\frac{3}{2}$，所以取等号 得出：$a=b=c$，即三角形ABC是等边三角形。

【核心结论】

余弦和为$\frac{3}{2}$的锐角三角形必为等边三角形，这是通过不等式优化得到的几何性质

【记忆技巧】

“余弦和三二一，等边是真谛”——锐角三角形中，$\cos A+\cos B+\cos C$最大值为$\frac{3}{2}$，且仅在等边时取到

【关联考点】

1. 余弦定理与三角形性质
2. 均值不等式和柯西不等式
3. 代数方法证明几何问题

【思维脚手架】

1. 利用余弦定理表示角的余弦值
2. 建立关于边长的表达式
3. 应用不等式优化问题
4. 分析取等号条件

【题目总结】

解题思路链条：余弦定理表示三角函数→代数变换→应用不等式优化→分析取等条件→得出等边结论

解析：

1. 根据已知条件：$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\cos \beta =\frac{5}{13}$

2. 首先计算$\cos \alpha$： 因为${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 所以${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-(\frac{3}{5}{)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ 因为$\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，所以$\cos \alpha >0$ 得$\cos \alpha =\frac{4}{5}$

3. 类似地，计算$\sin \beta$： ${\sin }^2\beta =1-{\cos }^2\beta =1-(\frac{5}{13}{)}^2=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$ 因为$\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，所以$\sin \beta >0$ 得$\sin \beta =\frac{12}{13}$

4. 应用两角和的正弦公式： $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}$ $=\frac{3\cdot 5}{5\cdot 13}+\frac{4\cdot 12}{5\cdot 13}$ $=\frac{3}{13}+\frac{48}{65}$ $=\frac{3\cdot 5}{13\cdot 5}+\frac{48}{65}$ $=\frac{15}{65}+\frac{48}{65}$ $=\frac{63}{65}$

5. 因此，$\sin (\alpha +\beta )=\frac{63}{65}$

【核心结论】

求解三角函数和差问题时，先求出所有未知的三角函数值，再应用和角公式计算

【记忆技巧】

“正弦加角公式：主正副余加，主余副正减”——$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，第一项是主角的正弦乘副角的余弦

【关联考点】

1. 锐角三角函数值的求解
2. 三角函数和角公式
3. 已知三角函数值，求其他函数值

【易错提醒】

1. ❌ 混淆和角公式：$\sin (A+B)\ne \sin A+\sin B$
2. ❌ 忘记检查辅助角的象限，导致正负号错误
3. ❌ 计算$\cos \alpha$或$\sin \beta$时直接取正值，没有根据角度范围判断

【题目总结】

解题思路链条：利用基本关系求出缺失的三角函数值→应用和角公式→代入数值计算→化简得到最终结果