共线向量

共线向量是指方向相同或相反的向量，它们的方向向量在同一直线上。两个非零向量共线，当且仅当一个向量是另一个向量的实数倍。

共线向量就像是”指向同一条线”的箭头，它们可能指向相同方向或相反方向，但都在同一条直线上。想象两支铅笔平行放在桌上，它们的指向就是共线的。

两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 共线，当且仅当存在一个实数 $k$，使得： $\vec{a}=k\vec{b}$

用坐标表示，若 $\vec{a}=(a_1,a_2)$ 和 $\vec{b}=(b_1,b_2)$，则共线条件为： $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}$（当 $b_1\ne 0$ 且 $b_2\ne 0$ 时）

或表示为叉积为零： $\vec{a}\times \vec{b}=0$

1. 比例关系：共线向量各分量之间的比值相等
2. 平行性：共线向量一定平行，但零向量与任何向量都共线
3. 叉积为零：两向量共线当且仅当它们的叉积为零向量
4. 点积关系：若两非零向量共线，则 $|\vec{a}\cdot \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|$

想象在同一条直线道路上行驶的两辆车，它们的运动方向要么相同要么相反，这就像共线向量。无论车速快慢（向量长度），它们的运动轨迹始终在同一条线上。

1. 判断三点共线：点A、B、C共线，当且仅当向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$共线
2. 力的平衡：当作用在物体上的所有力的合力为零时，若只有两个力，它们必须共线且大小相等、方向相反
3. 直线方程：直线上任意一点的位置向量与方向向量共线

共线性是判断几何形状、解决物理问题的基础工具。在高维空间中，共线概念扩展为”线性相关”，向量的线性表示，是线性代数中理解向量空间的关键。在计算机图形学中，共线判断用于确定点是否在同一直线上，是碰撞检测等算法的基础。