坐标系

实数空间通常记作 ${\mathbb{R}}^n$，表示由 $n$ 个实数组成的所有有序 $n$ 元组的集合： ${\mathbb{R}}^n=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)\mid x_i\in \mathbb{R},i=1,2,\dots ,n\}$

• ${\mathbb{R}}^1$ 即实数轴
• ${\mathbb{R}}^2$ 是平面直角坐标系
• ${\mathbb{R}}^3$ 是三维空间
• 更高维度的实数空间虽然难以直观想象，但可以用代数方式严格定义和处理

• 点：$P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 或向量 $\vec{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$
• 原点：$O(0,0,\dots ,0)$

1. 线性结构：${\mathbb{R}}^n$ 是线性空间（向量空间），满足向量加法和标量乘法运算
2. 度量结构：通过距离函数定义点之间的距离
3. 拓扑结构：具有开集、闭集、连通性等拓扑性质

1. 毕达哥拉斯定理推广：${\mathbb{R}}^n$ 中两点 $P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和 $Q(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ 之间的距离为： $d(P,Q)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}$

2. 柯西-施瓦茨不等式：对任意 $\vec{x},\vec{y}\in {\mathbb{R}}^n$，有： $|\vec{x}\cdot \vec{y}|\le \Vert \vec{x}\Vert \cdot \Vert \vec{y}\Vert$

1. 向量的模长：$\Vert \vec{x}\Vert =\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$
2. 点积：$\vec{x}\cdot \vec{y}=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$
3. 两向量夹角：$\cos \theta =\frac{\vec{x}\cdot \vec{y}}{\Vert \vec{x}\Vert \cdot \Vert \vec{y}\Vert }$

1. 三角不等式：对任意 $\vec{x},\vec{y}\in {\mathbb{R}}^n$，有 $\Vert \vec{x}+\vec{y}\Vert \le \Vert \vec{x}\Vert +\Vert \vec{y}\Vert$
2. 平行向量：两非零向量平行当且仅当存在非零实数 $\lambda$ 使得 $\vec{x}=\lambda \vec{y}$
3. 正交向量：两向量正交当且仅当它们的点积为零，即 $\vec{x}\cdot \vec{y}=0$

1. 物理学：描述物体在空间中的位置、速度、加速度等
2. 计算机图形学：三维建模、计算机动画
3. 数据分析：多维数据的表示和处理
4. 机器学习：特征空间的构建

例题1：判断向量 $\vec{a}=(1,2,3)$ 和 $\vec{b}=(3,-1,2)$ 是否正交。

解析：

• 思路：两向量正交当且仅当它们的点积为零
• 计算点积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 3+2\times (-1)+3\times 2=3-2+6=7\ne 0$
• 结论：这两个向量不正交

例题2：在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，求点 $P(1,2,3)$ 到平面 $2x+3y-z=6$ 的距离。

解析：

1. 平面的法向量为 $\vec{n}=(2,3,-1)$
2. 平面上任取一点，如 $Q(3,0,0)$（令 $y=z=0$ 求得）
3. 向量 $\overrightarrow{QP}=(1-3,2-0,3-0)=(-2,2,3)$
4. 点到平面的距离公式：$d=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{QP}|}{|\vec{n}|}=\frac{|2\times (-2)+3\times 2+(-1)\times 3|}{|\vec{n}|}$
5. 计算：$d=\frac{|-4+6-3|}{\sqrt{2^2+3^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-1|}{\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}$

例题3：证明 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意 $n+1$ 个向量线性相关。

解析：

1. 假设有 $n+1$ 个向量 ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2,\dots ,{\vec{v}}_{n+1}\in {\mathbb{R}}^n$
2. 考虑线性方程组 $c_1{\vec{v}}_1+c_2{\vec{v}}_2+\cdots +c_{n+1}{\vec{v}}_{n+1}=\vec{0}$
3. 这是一个有 $n+1$ 个未知数和 $n$ 个方程的齐次线性方程组
4. 根据线性代数理论，当未知数个数大于方程个数时，方程组必有非零解
5. 因此存在不全为零的 $c_1,c_2,\dots ,c_{n+1}$ 使得 $c_1{\vec{v}}_1+c_2{\vec{v}}_2+\cdots +c_{n+1}{\vec{v}}_{n+1}=\vec{0}$
6. 根据线性相关的定义，这 $n+1$ 个向量线性相关

错误类型：混淆向量的模长和维度

• 错误理解：认为向量 $(1,2,3,4)$ 的模长是 4
• 正确理解：向量 $(1,2,3,4)$ 的维度是 4，模长是 $\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2}=\sqrt{30}$

1. 代数与几何结合：实数空间中的问题既可以用代数方法（坐标、方程）也可以用几何方法（距离、角度）解决
2. 降维思考：复杂的高维问题可以通过投影或截面降到低维空间中考虑
3. 类比推广：许多平面和三维空间的结论可以推广到高维空间

1. 抽象思维：从具体的空间概念抽象出维度更高的空间
2. 公理化思维：通过公理系统严格定义实数空间的性质
3. 不变量思想：研究在某些变换下保持不变的量（如距离、夹角等）