距离公式

在实数空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中，两点 $P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和 $Q(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ 之间的欧氏距离定义为： $d(P,Q)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$

直观解释

• 在 ${\mathbb{R}}^1$ 中：两点间距离是它们坐标差的绝对值,$d=\left|x_1-y_1\right|$
• 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中：两点间距离由勾股定理计算
• 在 ${\mathbb{R}}^3$ 及更高维空间：是勾股定理的高维推广

符号表示

• 向量形式：若 $\vec{p}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和 $\vec{q}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$，则 $d(P,Q)=\Vert \vec{p}-\vec{q}\Vert$
• 范数形式：$d(P,Q)=\Vert \vec{p}-\vec{q}{\Vert }_2$，其中下标 2 表示欧氏范数（$L_2$ 范数）

欧氏距离满足距离公理：

1. 非负性：$d(P,Q)\ge 0$，当且仅当 $P=Q$ 时取等号
2. 对称性：$d(P,Q)=d(Q,P)$
3. 三角不等式：$d(P,R)\le d(P,Q)+d(Q,R)$

1. 保距变换：欧氏空间中的刚体运动（平移、旋转、反射）保持距离不变
2. 毕达哥拉斯定理推广：$n$ 维空间中两点间距离公式是勾股定理的直接推广
3. 距离公式与向量内积关系：$d^2(P,Q)=\Vert \vec{p}{\Vert }^2+\Vert \vec{q}{\Vert }^2-2\vec{p}\cdot \vec{q}$

1. 点到原点的距离：$d(P,O)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}=\Vert \vec{p}\Vert$
2. 中点公式：点 $P$ 和 $Q$ 的中点坐标为 $M(\frac{x_1+y_1}{2},\frac{x_2+y_2}{2},\dots ,\frac{x_n+y_n}{2})$
3. 点到超平面的距离：若超平面方程为 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n+b=0$，则点 $P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 到此超平面的距离为： $d=\frac{|a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n+b|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}}$

1. 曼哈顿距离（$L_1$ 范数）：$d_1(P,Q)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+\cdots +|x_n-y_n|$
2. 切比雪夫距离（$L_{\infty }$ 范数）：$d_{\infty }(P,Q)=\max (|x_1-y_1|,|x_2-y_2|,\dots ,|x_n-y_n|)$
3. 加权欧氏距离：$d_w(P,Q)=\sqrt{w_1(x_1-y_1{)}^2+w_2(x_2-y_2{)}^2+\cdots +w_n(x_n-y_n{)}^2}$，其中 $w_i>0$ 为权重

1. 距离的平方：$d^2(P,Q)=(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2$
2. 距离的加性：一般情况下，$d(P,Q)+d(Q,R)\ge d(P,R)$，当且仅当 $Q$ 在 $P$ 和 $R$ 的连线上时取等号
3. 距离的齐次性：若所有坐标同比例缩放 $k$ 倍，则距离也缩放 $|k|$ 倍

例题1：计算 ${\mathbb{R}}^4$ 中点 $P(1,2,3,4)$ 和 $Q(-1,0,2,5)$ 之间的距离。

解析：

• 应用欧氏距离公式：$d(P,Q)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+(x_3-y_3{)}^2+(x_4-y_4{)}^2}$
• 代入坐标：$d(P,Q)=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(2-0{)}^2+(3-2{)}^2+(4-5{)}^2}$
• 计算：$d(P,Q)=\sqrt{4+4+1+1}=\sqrt{10}$

例题2：在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，求点 $P(2,1,3)$ 到平面 $2x-y+2z=6$ 的距离。

解析：

1. 平面的法向量为 $\vec{n}=(2,-1,2)$
2. 点到平面的距离公式：$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$，其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是点的坐标
3. 将平面方程重写为 $2x-y+2z-6=0$，即 $a=2,b=-1,c=2,d=-6$
4. 代入公式：$d=\frac{|2\times 2+(-1)\times 1+2\times 3-6|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}$
5. 计算：$d=\frac{|4-1+6-6|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|3|}{\sqrt{9}}=\frac{3}{3}=1$

例题3：证明在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，对任意四点 $A,B,C,D$，有： $d^2(A,C)+d^2(B,D)\le d^2(A,B)+d^2(B,C)+d^2(C,D)+d^2(D,A)$

解析：

1. 设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ 分别为点 $A,B,C,D$ 对应的位置向量
2. 距离平方可表示为：$d^2(A,B)=\Vert \vec{a}-\vec{b}{\Vert }^2$
3. 我们有：
   1. $d^2(A,C)=\Vert \vec{a}-\vec{c}{\Vert }^2=\Vert (\vec{a}-\vec{b})+(\vec{b}-\vec{c}){\Vert }^2$
   2. $d^2(B,D)=\Vert \vec{b}-\vec{d}{\Vert }^2=\Vert (\vec{b}-\vec{c})+(\vec{c}-\vec{d}){\Vert }^2$
4. 利用向量平方展开：$\Vert \vec{u}+\vec{v}{\Vert }^2=\Vert \vec{u}{\Vert }^2+\Vert \vec{v}{\Vert }^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}$
5. 得到：
   1. $d^2(A,C)=d^2(A,B)+d^2(B,C)+2(\vec{a}-\vec{b})\cdot (\vec{b}-\vec{c})$
   2. $d^2(B,D)=d^2(B,C)+d^2(C,D)+2(\vec{b}-\vec{c})\cdot (\vec{c}-\vec{d})$
6. 将两式相加，并利用柯西-施瓦茨不等式完成证明

错误类型：在计算点到平面距离时忘记取绝对值

• 错误计算：$d=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
• 正确计算：$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

1. 代数与几何结合：距离既可以用代数公式计算，也可以通过几何直观理解
2. 向量化思维：将点间距离转化为向量差的模长，简化计算和推导
3. 不变量思想：距离在刚体变换下保持不变，是重要的几何不变量

1. 公理化思维：距离满足的三条公理（非负性、对称性、三角不等式）是度量空间的基础
2. 推广与抽象：从一维到高维的距离概念推广，体现了数学的抽象思维
3. 最优化思想：许多几何问题（如最短距离）可以转化为最优化问题

1. 熟记基本公式，特别是点到点、点到直线、点到平面的距离公式
2. 练习在不同维度空间中应用距离公式，建立空间直觉
3. 学会将距离问题与向量、内积等概念结合起来思考
4. 注意不同距离度量（欧氏、曼哈顿、切比雪夫等）的特点和适用场景

1. 一维空间：两点间距离是数轴上线段长度
2. 二维空间：两点间距离可以通过直角三角形的斜边长度计算
3. 三维空间：可以通过三维直角坐标系中的空间距离公式计算
4. 等距离曲线：
   1. ${\mathbb{R}}^2$ 中到定点距离相等的点构成圆
   2. ${\mathbb{R}}^3$ 中到定点距离相等的点构成球面