正交向量

正交向量是指相互垂直的向量，它们之间的夹角为90度（或π/2弧度）。正交性是向量空间中的一种基本几何关系，表示两个方向完全独立，没有任何一个向量在另一个向量方向上的分量。

1. 点积定义 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 正交，当且仅当它们的点积为零： $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$

两个非零向量

2. 坐标形式 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和 $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则正交条件为： $a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

若

3. 几何解释 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =0$ 由于 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 非零，所以 $\cos \theta =0$，即 $\theta =90°$

正交向量的点积为零等价于：

• 零向量与任何向量正交
• 向量与自身不正交（除非是零向量）
• 如果 $\vec{a}\perp \vec{b}$，则 $\vec{b}\perp \vec{a}$（正交关系是对称的）
• 如果 $\vec{a}\perp \vec{b}$，则 $k\vec{a}\perp m\vec{b}$，其中 $k,m$ 为任意非零实数

若 $\vec{a}\perp \vec{b}$，则： $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$

任何向量 $\vec{v}$ 可以分解为平行于向量 $\vec{a}$ 和正交于向量 $\vec{a}$ 的两个分量： $\vec{v}={\vec{v}}_{\parallel }+{\vec{v}}_{\perp }$

其中： ${\vec{v}}_{\parallel }=\frac{\vec{v}\cdot \vec{a}}{|\vec{a}{|}^2}\vec{a}$ ${\vec{v}}_{\perp }=\vec{v}-{\vec{v}}_{\parallel }$

一组向量 $\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,...,{\vec{e}}_n\}$ 构成标准正交基，如果：

• 它们两两正交：${\vec{e}}_i\cdot {\vec{e}}_j=0$ 当 $i\ne j$
• 它们都是单位向量：$|{\vec{e}}_i|=1$

三维空间中的标准正交基（直角坐标系）： $\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)$

当力 $\vec{F}$ 与位移 $\vec{s}$ 正交时，力不做功： $W=\vec{F}\cdot \vec{s}=0$

• 计算法向量与表面的关系
• 实现镜面反射

// 计算反射向量
Vector3 Reflect(Vector3 incident, Vector3 normal) {
    return incident - 2 * Vector3.Dot(incident, normal) * normal;
}