向量点积

点积的定义 $\vec{a}$和$\vec{b}$，其点积定义为：

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos \theta$

其中：

• $\left|\vec{a}\right|$和$\left|\vec{b}\right|$是向量的模
• $\theta$是两向量间的夹角
• 结果是标量（故也称标量积）

几何意义

1. 投影解释：

• $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|(\left|\vec{b}\right|\cos \theta )$

• 等于一个向量的模与另一个向量在其方向上投影的乘积

2. 夹角关系：

• 锐角：点积为正
• 直角：点积为零（正交）
• 钝角：点积为负

代数计算

$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$

二维情况： $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_a{x}_b+y_a{y}_b$

三维情况： $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$

基本性质

1. 交换律：

• $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$

2. 分配律：

• $\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$

3. 标量乘法：

• $(k_1\vec{u})\cdot (k_2\vec{v})=k_1{k}_2(\vec{u}\cdot \vec{v})$

4. 正交性：

• ==$\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$==

应用场景

1. 计算向量夹角
2. 判断向量正交性
3. 计算向量投影
4. 力学中的功的计算
5. 判断向量方向关系
6. 计算机图形学中的光照计算

相关词汇 正交向量

让我们来看一些向量点积的经典题型：

题型1：向量垂直

已知向量$\vec{a}=(1,k)$，$\vec{b}=(2,-3)$，若$\vec{a}\perp \vec{b}$，求k的值。

解答：

1. 由垂直条件：$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$
2. 展开：$(1,k)\cdot (2,-3)=0$
3. 计算：$2+(-3k)=0$
4. 解得：$k=\frac{2}{3}$

题型2：向量夹角

已知向量$\vec{a}=(1,1)$，$\vec{b}=(2,2\sqrt{3})$，求$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角 解答：

1. 夹角公式：$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
2. 计算点积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=2+2\sqrt{3}$
3. 计算模长：
   • $|\vec{a}|=\sqrt{2}$
   • $|\vec{b}|=\sqrt{4+12}=2\sqrt{4}=4$
4. 代入：$\cos \theta =\frac{2+2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}\cdot 4}=\frac{1+\sqrt{3}}{4}$
5. 得到：$\theta =60°$

题型3：投影

求向量$\vec{a}=(3,4)$在向量$\vec{b}=(1,0)$上的投影长度。

解答：

1. 投影公式：$pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
2. 计算点积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=3$
3. 计算$|\vec{b}|=1$
4. 代入得：$pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}=3$

题型4：向量分解

将向量$\vec{a}=(2,2)$分解为与向量$\vec{b}=(1,1)$平行和垂直的两个分量。

解答：

1. 平行分量：$\overrightarrow{a_{\parallel }}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}$
2. 垂直分量：$\overrightarrow{a_{\perp }}=\vec{a}-\overrightarrow{a_{\parallel }}$
3. 计算：
   • $\vec{a}\cdot \vec{b}=4$
   • $|\vec{b}{|}^2=2$
   • $\overrightarrow{a_{\parallel }}=(2,2)$
   • $\overrightarrow{a_{\perp }}=(0,0)$

题型5：面积计算

求由向量$\vec{a}=(1,2)$和$\vec{b}=(2,1)$构成的平行四边形面积。

解答：

1. 面积公式：$S=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$
2. $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$
3. $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
4. 计算：
   • $\vec{a}\cdot \vec{b}=4$
   • $|\vec{a}|=\sqrt{5}$
   • $|\vec{b}|=\sqrt{5}$
   • $S=3$

综合

设向量 $a=(2,2),b=(-2,6),c=(4,2)$，且$(a-\lambda b)\perp c$,则$\lambda =?$

解题思路

1. 向量垂直条件： $(a-\lambda b)\cdot c=0$

2. 已知向量： $a=(2,2)$ $b=(-2,6)$ $c=(4,2)$

计算过程

1. 展开$(a-\lambda b)$： $a-\lambda b=(2,2)-\lambda (-2,6)$ $=(2+2\lambda ,2-6\lambda )$

2. 代入垂直条件： $(2+2\lambda ,2-6\lambda )\cdot (4,2)=0$

3. 展开点积： $(2+2\lambda )(4)+(2-6\lambda )(2)=0$ $8+8\lambda +4-12\lambda =0$ $12-4\lambda =0$

答案

$\lambda =3$

验证

1. 代回原式： $a-3b=(2,2)-3(-2,6)$ $=(2,2)+(6,-18)$ $=(8,-16)$

2. 验证垂直： $(8,-16)\cdot (4,2)=0$ $32-32=0$

总结

1. 这道题考察了向量的垂直关系和点积运算。
2. 关键是正确使用向量垂直的点积为零的条件。