点积证明

证明思路：

1. 利用向量减法和模长
2. 应用余弦定理
3. 展开代数式

具体步骤：

1. 设 c = a - b，则 |c|² = (a-b)·(a-b)

2. 根据余弦定理： |c|² = |a|² + |b|² - 2|a||b|cosθ

3. 展开(a-b)·(a-b)： |c|² = (x₁-x₂)² + (y₁-y₂)² + (z₁-z₂)² = (x₁² + y₁² + z₁²) + (x₂² + y₂² + z₂²) - 2(x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) = |a|² + |b|² - 2(x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂)

4. 由2)和3)相等： |a|² + |b|² - 2|a||b|cosθ = |a|² + |b|² - 2(x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂)

5. 因此： |a||b|cosθ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

关键点：

1. 巧用向量减法构造新向量
2. 余弦定理桥接几何和代数
3. 模长的两种表达方式

启示：

1. 几何问题可转化为代数
2. 余弦定理是重要工具
3. 向量运算的等价性

应用场景：

1. 证明其他向量运算的等价定义
2. 建立几何量与代数量的关系
3. 验证向量空间的性质
4. 推导新的向量恒等式
5. 解决向量几何问题