三角形的向量表示

1. 向量表示：

• a：从A指向B的向量
• b：从A指向C的向量
• c：从C指向B的向量（或说从B指向C的负向量）

2. 关系解释：

• 先到C
• 再返回A（-b）
• 最后到B（向量a）
• 等价于直接从C到B（$c=a-b$）

1. 余弦定理：

2. 三角形面积：

$S=\frac{1}{2}|a\times b|=\frac{1}{2}|a||b|sinC$

3. 中线定理：

中线长度$m^2=\frac{1}{4}(2a^2+2b^2-c^2)$

优势：

1. 统一性：

   1. 把三角形所有边统一到向量关系中
   2. 便于推导各种性质

2. 简洁性：

   1. 一个式子c=a-b包含全部信息
   2. 运算规则清晰直观

3. 推广性：

   1. 容易推广到空间
   2. 便于处理复杂几何问题

关键点：

1. 建立向量关系：

   1. 正确选择向量方向
   2. 确定向量起终点

2. 运用向量运算：

   1. 点积求夹角和长度
   2. 叉积求面积
   3. 向量加减求位置关系

3. 几何意义：

   1. 向量运算对应几何关系
   2. 保持几何直观

例：证明三角形中线长公式

解：

1. 设M是BC中点，AM是中线
2. M的位置向量：(B+C)/2
3. 中线向量：AM = M-A
4. 代入c=a-b： M-A = ½(B-A) - ½(C-A) = ½(a-b)
5. 平方得中线长公式： m² = ¼(2a² + 2b² - c²)