加法公式与几何变换的连接

Output

问题：平面上点 $P(x,y)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角得到点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$。

1. 证明：$x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta$，$y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$
2. 解释这组公式如何将加法公式与线性变换、矩阵理论连接起来

证明

证明：设点 $P$ 到原点的距离为 $r$，$P$ 与正 $x$ 轴的夹角为 $\alpha$

则 $x=r\cos \alpha$，$y=r\sin \alpha$

旋转后，$P^{\prime }$ 与正 $x$ 轴的夹角为 $\alpha +\theta$

则 $x^{\prime }=r\cos (\alpha +\theta )=r\cos \alpha \cos \theta -r\sin \alpha \sin \theta =x\cos \theta -y\sin \theta$ $y^{\prime }=r\sin (\alpha +\theta )=r\sin \alpha \cos \theta +r\cos \alpha \sin \theta =y\cos \theta +x\sin \theta$

得证。

---

矩阵表示🏹：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$