正弦函数的第二个定义

前置知识点

• 弧长和弦长
• 正弦定理

Output

1. 在单位圆上，比较弧长 $s=\theta$ 与弦长 $d=2\sin (\frac{\theta }{2})$ 的关系
2. 证明对于 $\theta >0$，恒有 $\sin \theta <\theta <\tan \theta$（当 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ 时）
3. 解释为什么小角近似下 $\sin \theta \approx \theta$ 成立，但三角函数本质上不是线性函数

回答1

思维链解答：

步骤1：弧长与弦长的关系

• 在单位圆上，弧长 $s=\theta$（因为半径 $r=1$）

• 弦长 $d=2\sin (\frac{\theta }{2})$

• 证明 $d<s$ 对于 $\theta >0$：

• 需要证明 $2\sin (\frac{\theta }{2})<\theta$ 对于 $\theta >0$

• 对于 $0<\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{2}$，我们知道 $\sin \alpha <\alpha$（因为正弦函数图像位于直线 $y=x$ 的下方）

• 所以 $\sin (\frac{\theta }{2})<\frac{\theta }{2}$

• 两边乘以 $2$，得到 $2\sin (\frac{\theta }{2})<\theta$

• 因此 $d<s$，即弦长小于弧长

• 几何解释：

• 弧长是圆周上的曲线距离

• 弦长是连接弧两端点的直线距离

• 两点之间直线距离始终小于曲线距离，这是几何直观

回答2

步骤2：证明不等式 $\sin \theta <\theta <\tan \theta$

• 第一部分：证明 $\sin \theta <\theta$（对于 $\theta >0$）

• 在单位圆上，弦长 $2\sin (\frac{\theta }{2})<\theta$（从步骤1得到）

• 当 $\theta$ 很小时，$\sin \theta \approx \theta -\frac{{\theta }^3}{6}+...$（泰勒展开）

• 这表明 $\sin \theta <\theta$ 对于 $\theta >0$

• 第二部分：证明 $\theta <\tan \theta$（对于 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$）

• 我们知道 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

• 对于 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$，$\cos \theta <1$

• 所以 $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }>\sin \theta$

• 结合第一部分，我们有 $\sin \theta <\theta$

• 但因为 $\cos \theta <1$，实际上我们可以证明 $\theta <\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\tan \theta$

• 更严格的证明：

• 考虑函数 $f(\theta )=\tan \theta -\theta$

• $f^{\prime }(\theta )={\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta >0$ 对于 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$

• 函数 $f(\theta )$ 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上严格递增

• $f(0)=0$

• 因此 $f(\theta )>0$ 对于 $\theta >0$

• 即 $\tan \theta >\theta$ 对于 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$

• 综合上面两部分，我们证明了 $\sin \theta <\theta <\tan \theta$ 对于 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$

回答3

步骤3：小角近似与三角函数的非线性本质

• 小角近似：

• 当 $\theta$ 接近 $0$ 时，$\sin \theta \approx \theta$

• 这可以从泰勒展开看出：$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-...$

• 当 $\theta$ 很小时，高阶项 $\frac{{\theta }^3}{3!}$, $\frac{{\theta }^5}{5!}$, … 都接近 $0$

• 因此 $\sin \theta \approx \theta$

• 为什么三角函数不是线性函数：

• 线性函数的定义：$f(x)=kx+b$，满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)-b$

• 但对于正弦函数：$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\ne \sin x+\sin y$

• 同样，$\sin (kx)\ne k\sin x$

• 这表明正弦函数不满足线性函数的基本性质

• 几何解释：

• 线性函数的图像是直线，增长率恒定

• 三角函数的图像是周期性波形，增长率不恒定

• 在单位圆上，弧长与圆心角成正比（线性关系）

• 而弦长（与 $\sin \theta$ 相关）与圆心角的关系则是非线性的

• 这种差异在角度较大时更明显，在角度很小时几乎不可察觉（这就是小角近似的原理）

• 计算比较：

• 当 $\theta =0.1$ 弧度时： $\sin (0.1)\approx 0.0998$，与 $0.1$ 的相对误差约为 $0.2\%$

• 当 $\theta =0.5$ 弧度时： $\sin (0.5)\approx 0.4794$，与 $0.5$ 的相对误差约为 $4.1\%$

• 当 $\theta =1$ 弧度时： $\sin (1)\approx 0.8415$，与 $1$ 的相对误差约为 $15.9\%$

• 极限分析：

• ${\lim }_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta }{\theta }=1$

• 这表明当 $\theta$ 接近 $0$ 时，$\sin \theta$ 与 $\theta$ 的比值接近 $1$

• 这是为什么小角近似有效的根本原因

• 但这只是局部线性近似，而非全局线性关系