向量内积的知识图谱
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root((向量内积))
一级结论
代数定义
分量乘积和
坐标表示
几何定义
模长乘积
夹角余弦
等价性证明
余弦定理
向量减法
二级结论
投影
标量投影
向量投影
正交分解
度量性质
正定性
对称性
线性性
柯西不等式
投影界限
夹角限制
三角不等式
三级应用
几何应用
距离计算
角度计算
面积计算
物理应用
功的计算
力的分解
能量守恒
工程应用
信号处理
图形渲染
机器学习
关联知识
线性代数
内积空间
正交基
二次型
微积分
方向导数
曲线积分
梯度
解析几何
圆锥曲线
旋转变换
空间曲面
1. 代数定义（分量乘积和）和几何定义（模长与夹角）通过等价性证明建立联系
2. 这种等价性通过：
- 余弦定理
- 向量减法
体现了代数运算与几何意义的统一
---
1. 投影与度量性质：
- 正定性保证投影有意义
- 对称性简化投影计算
- 线性性支持正交分解
2. 柯西不等式：
- 给出投影的界限
- 限制向量夹角范围
- 导出三角不等式
向量点积的知识图谱
提示
- 代数定义（分量乘积和）和几何定义（模长与夹角）通过等价性证明建立联系
- 这种等价性通过：
- 余弦定理
- 向量减法
体现了代数运算与几何意义的统一
- 投影与度量性质：
- 正定性保证投影有意义
- 对称性简化投影计算
- 线性性支持正交分解
- 柯西不等式：
- 给出投影的界限
- 限制向量夹角范围
- 导出三角不等式
