加法公式

定义

形式定义

三角函数加法公式是描述两个角的和或差的三角函数与各自三角函数之间关系的基本公式。这组公式是三角学中最基础、最重要的恒等式之一。

主要公式表述

• $\sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
• $\cos (A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$
• $\tan (A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$

特殊情况

1. 当 $B=\frac{\pi }{2}$ 时：

• $\sin (A+\frac{\pi }{2})=\cos A$

• $\cos (A+\frac{\pi }{2})=-\sin A$

1. 当 $B=\frac{\pi }{4}$ 时：

• $\sin (A+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin A+\cos A)$
• $\cos (A+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos A-\sin A)$

加法公式证明

• 加法公式的一个证明
• tan(⍺+β)余弦加法公式

• 二倍角公式
• 半角公式
• 和差化积公式

1. 三角函数的线性组合转化：辅助角公式 任何形如 $a\sin \theta +b\cos \theta$ 的表达式都可以转化为 $R\sin (\theta +\alpha )$ 或 $R\cos (\theta -\beta )$ 的形式，其中 $R=\sqrt{a^2+b^2}$

2. 万能公式的推导基础： 加法公式是推导三角函数万能代换公式的理论基础

3. 三角恒等式的证明工具： 许多复杂的三角恒等式可以通过加法公式证明

1. 复数形式： 通过欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$，加法公式可表示为： $e^{i(A+B)}=e^{iA}\cdot e^{iB}$

2. 向量形式： 从向量的点积和叉积角度，加法公式反映了二维旋转的代数性质

3. 矩阵形式： 旋转矩阵 $R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ 满足 $R(A+B)=R(A)R(B)$

加法公式✅