用向量的投影解释 R 方法

Output

我们将原表达式看成两个向量的点积：$a\cos \theta +b\sin \theta$

• 向量 $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ 是平面上一个固定的向量；
• 向量 $\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$ 是一个单位圆上的动点，随 $\theta$ 变化而旋转。 因此，表达式 $a\cos \theta +b\sin \theta$ 本质上是固定向量 $(a,b)$ 在旋转单位向量 $(\cos \theta ,\sin \theta )$方向上的投影长度。

Output

（1）$R\cos (\theta -\alpha )$ 表示法：

• 我们将固定向量 $(a,b)$ 表示为长度为 $R$ 的向量，夹角为 $\alpha$，即：

$$(a,b)=R(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$

• 此时表达式变成：

$$\begin{array}{rl}(a,b)\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )& =R(\cos \alpha ,\sin \alpha )\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )\\ & =R\cos (\theta -\alpha )\end{array}$$

• 这意味着表达式的值是固定向量 $(a,b)$在旋转向量 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ 方向上的投影长度。
• 换句话说，余弦表示法意味着我们将单位向量旋转到与固定向量 $(a,b)$ 重合时，夹角为 $\alpha$。因此，$\alpha$ 是固定向量与 $x$ 轴正方向之间的夹角。

Output

（2）$R\sin (\theta +\beta )$ 表示法：

• 同样，我们也可以将固定向量 $(a,b)$ 表示为长度为 $R$的向量，但这次角度定义略有不同：

$$(a,b)=R(\sin \beta ,\cos \beta )$$

• 此时表达式变成：

$$\begin{array}{rl}(a,b)\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )& =R(\sin \beta ,\cos \beta )\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )\\ & =R\sin (\theta +\beta )\end{array}$$

• 这里的角度 $\beta$ 表示固定向量与 $y$ 轴正方向之间的夹角。
• 正弦表示法意味着我们将单位向量旋转到与固定向量重合时，夹角为 $-\beta$（或与 $y$ 轴夹角为 $\beta$）。

Output

表示方式	向量表示	几何含义
$R\cos (\theta -\alpha )$	$(a,b)=R(\cos \alpha ,\sin \alpha )$	固定向量与 $x$ 轴夹角为 $\alpha$，表达式是向量在旋转方向上的投影
$R\sin (\theta +\beta )$	$(a,b)=R(\sin \beta ,\cos \beta )$	固定向量与 $y$ 轴夹角为 $\beta$，表达式同样为向量在旋转方向上的投影

因此，这两种表示法的本质区别在于：

• 余弦表示法：用向量与 $x$ 轴正方向的夹角来定义；
• 正弦表示法：用向量与 $y$ 轴正方向的夹角来定义。 两种表示法都是同一个向量投影问题，只是参考坐标轴不同而已。